Halveringstid och beräkna steady state

Fan jag kommer inte ihåg formeln för att beräkna steady state!

Kan någon hjälps mig med detta?

Såhär ser problemet ut.

1. Man tar 600mg av ett medel var 7e dag, medlet har en halveringstid på 15 dagar. Vilken dag når man max?

2. Ännu mer krångligt. man tar 300mg uppdelat en var tredje dag och nästa var 4e sedan var 3e och var 4e osv... Halveringstiden är fortfarande samma 15 dagar. Men nu blir det ju ojämna intervaller, en med 4 dagars mellanrum och en med 3 dagar och så fortsätter det. Vilken dag når man max nu?

Finns det ens nån formel för problem 2? Eller adderar man bara det 2 intervallerna så det blir 600mg var 7e dag? Fast det blir ju inte samma lixom.

Fan, detta och sannolikhetslära har blåst bort från mitt minne, är ju sällan jag använder det i vardagen.
Fast det är lätt när man kan det minns jag iaf

Vad är detta? Ingen i vetenskapsdelen som kan?
Trodde detta var busenkelt här inne med tanke på forumsdelen

Ingen som kan vara vänlig att svara på problemet här?
Inte ska jag väl behöva vända mig till f12:s egen räknedosa Bengan

Tacksam för svar mvh / T

Tycker inte det hela går ihop med de medel jag skulle tillgripa. Förmodligen blir det fel någonstans men det här är i alla fall hur jag ser på ettan:

x_0 = 600

x_1 = (1/2)^(7/15)*x_0 + 600

x_2 = (1/2)^(7/15)*x_1 + 600

...

x_n = (1/2)^(7/15)*x_n-1 + 600 = f(x_n-1)

Det rör sig alltså om en itererad funktion. För att lösa ett sådant problem letar man efter lösningar till f(x) = x, vilket kallas för fixpunkter. När man stoppar in en fixpunkt i funktionen kommer samma fixpunkt ut igen och på så sätt har man nått ett slags "stopp". Fixpunkter kan vara attraktiva eller reppellerande beroende på funktionens derivata i punkten. I det här fallet så är punkten attraktiv eftersom beloppet av derivatan är mindre än 1, vi borde alltså nå ett maximum för iterationerna. Problemet är att vi kommer ta mindre och mindre steg mot fixpunkten ju närmre vi kommer och därför kommer det ta oändligt många iterationer att faktiskt nå punkten. Max kan alltså inte nås på ändligt antal dagar, men det teoretiska resultatet blir:

x_max = 1200/(2 - 2^(8/15))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%3D+%281%2F2%29%5E%287%2F15%29x+%2B+600

Hoppas på fler svar, vill gärna veta vad som är fel här.

Jag har ju gjort en tråd om detta redan på dopingforumet. Är inte så svårt.

Men i regel gäller att tar man samma dos hela tiden med samma intervall så når man aldrig steadystate, men man konvergerar mot den.

Man når aldrig max. Däremot når du tillräckligt nära max en viss tid. Relevant är då att tala om att man är "tillräckligt nära" som i typ 5% från max eller dylikt.

Annars gäller att tar du en dos av ett preparat med samma frekvens (dvs samma eXd) som dess halveringstiden. Dvs om injektionsfrekvensen är lika stor som halveringstiden så når man steadystate efter fem injektioner. Dvs då ett tillräckligt nära steadystate.

Just nu är jag mitt inne i läsning så jag kommer ge ett mer detaljerat svar inom typ 1h.

Låt c=(1/2)^(7/15)

x_0 = 600

x_1 = c*x_0 + 600 = 600(c + 1)

x_2 = c*x_1 + 600 = 600(c^2 + c + 1)

x_3 = c*x_2 + 600 = 600(c^3 + c^2 + c + 1)

x_n = 600( (1 - c^(n+1))/(1-c) )

För att svara på problem 2. Ja det går att lösa men det kräver rätt mycket jobb att plocka fram en sådan. Eftersom det är varannan så utnyttjar man egenskaperna av udda och jämna tal till att exempelvis plocka fram en sådan. Men lättast vore att bara använda formeln för fall 1 och sägas att den är approximativt lika fall 2. Vilket är fallet!

Men vi kan studera problem 1 lite, det är hyffsat avancerat men inte omöjligt. Först börjar vi med att bestämma att vi beskriver problemet med en exponentialfunktion som man "itererar" sig fram. Även kallat rekursion. Vi beskriver först förändringen mellan injektion 1 och injektion två. Vi tittar alltså på hur många mg prepp vi har i kroppen en viss tid och hur denna mängd beter sig mellan våra två injektioner. Vi studerar då detta fall.

Egentligen löser vi problemet genom att skapa en differentialekvation som i sin tur resulterar i en exponentialfunktion men för enkelhetens skull vet vi redan att mg prepp i kroppen avtar exponentiellt. Vet du inte exakt vad exponentiellt innebär föreslår jag att du tar dig en titt på wikipedia.

p = s·2^(-t/h)

• Där p är preppet i kroppen efter en viss tid t.
• Där s är startvärdet av preppet i kroppen.
• Där t är tiden i dagar vi tittar på just precis då.
• Där h är halveringstiden.

I vårt fall börjar vi ju med 600mg, då är alltså s = 600. Vi vet att halveringstiden är 15 dagar så h = 15.

Vi har då formeln:

p = 600·2^(-t/15)

Vill vi veta mängden i kroppen efter 4 dagar så sätter vi t = 4. Då får vi värdet på p. Låt oss prova och kolla hur mycket prepp det finns i kroppen efter 4 dagar.

p = 600·2^(-4/15) ≈ 500

Alltså 4 dagar efter första injektionen har vi 500mg kvar i kroppen. Men vad händer då dag 7? Då lägger vi ju till ytterligare 600mg prepp igen. Det är detta som gör beräkningen hyffsat svår. Vi kan då skapa en tabell som beskriver mängden prepp.

p₁ = 600
p₂ = 600·2^(-7/15)+600
Alltså direkt vid första injektionen är det 600mg prepp i kroppen, sedan direkt vid andra injektionen så har de 600mg man injicerade vid första minskat exponentiellt.

Vi ser ju att:

600·2^(-7/15) ≈ 434

Alltså direkt efter andra injektionen har vi cirka 1034mg i kroppen eftersom vi adderade 600mg till. Tanken är här alltså att vi skall se ett mönster! Vi studerar injektion 3 men börjar först med att skriva om mönstret och tittar sedan på hur injektion tre kan se ut.

p₁ = 600
p₂ = 600·2^(-7/15)+600

Notera att 600 = p₁

p₁ = 600
p₂ = p₁·2^(-7/15)+p₁
p₃ = p₂·2^(-7/15)+p₁
p₄ = p₃·2^(-7/15)+p₁
...
...
pₓ = p_(x-1)·2^(-7/15)+p₁
Vi kallar 2^(-7/15) för a

Då ser vi att:

p₁ = 600
p₂ = p₁·a+p₁
p₃ = p₂·a+p₁
p₄ = p₃·a+p₁
...
...
pₓ = p_(x-1)·a+p₁

Studera p₄ och uttrycker p₄ i termer av p₁.

p₄ = p₃·a+p₁ ⇔
p₄ = (p₂·a+p₁)a+p₁ ⇔
p₄ = ((p₁·a+p₁)·a+p₁)a+p₁ ⇔
p₄ = (p₁·a²+p₁·a+p₁)a+p₁ ⇔
p₄ = p₁·a³+p₁·a²+p₁·a+p₁

Vi ser att mönstret är en geometrisk summa. Geometriska summor går rätt enkelt att lösa' men kan inte förklara lösningsmetoden här. I vilket fall får vi att:

p₄ = p₁(1-a⁴)/(a-1)

Alltså blir:
p_n = p₁(1-aⁿ)/(a-1)
Där a = 2^(-7/15)

I det allmänna fallet gäller alltså att:

p_n = p₁(1-aⁿ)/(a-1)
a = 2^(-i/h)
i = injektionsfrekvensen
h = halveringstiden
p_n = mängden prepp i kroppen vid injektion nummer n

Slutsats och resultat:

p(n) = p(0)·(1-aⁿ)/(1-a)

Där vi vet att p(n) beskriver mängden prepp i kroppen vid injektion nummer n. Om vi vill titta på mängden prepp i kroppen direkt efter injektion nummer 5 stoppar vi alltså in n = 5 på alla platser. Detta gäller också under förutsättningen att man injicerar med samma injektionsfrekvens och med ett prepp som har samma halveringstid hela tiden. p(0) är den konstanta dos som man injicerar varje gång man injicerar, t.ex. då 600mg.

a = 2^(-i/h)

Där i är injektionsfrekvensen och där h är halveringstiden.

Räkneexempel:
Vi vill studera mängden prepp i kroppen vid injektion nummer 11 om man injicerar 250mg Galenika e4d. Vi kan då börja med att bestämma konstanten a.

a = 2^(-i/h) = 2^(-4/5) ≈ 0.57

Eftersom injektionsfrekvensen är var fjärde dag och eftersom halveringstiden är 5 dagar. a är alltså ungefär lika med 0.57. Vi tittar då på vår formel.

Vi vill beräkna mängden prepp i kroppen efter injektion 11.

p(n) = p(0)·(1-aⁿ)/(1-a)

Vi får då nedan:

p(11) = 250·(1-0.57¹¹)/(1-0.57)

Vi kan då sammanställa det i en graf.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28250%C2%B7%281-0.57%5En%29%2F%281-0.57%29+n%3D0..25%29

Grafen gäller för galenika med injektion 250mg varje gång, injektionen sker var fjärde dag och halveringstiden är som bekant 5 dagar.

Guide för hur man ser mängden prepp i kroppen efter en viss injektion.


Mängden prepp följer en formel, alltså en funktion. Mängden prepp kallar vi p.

Nedan är mängden prepp p vid injektion nummer n där man injicerar c varje gång.

p = c(1-aⁿ)/(1-a)

Men vi måste också veta vad a betyder. a är en konstant som beror på injektionsfrekvensen och halveringstiden.

Definitionen av a:

a = 2^(-i/h)

Där i är injektionsfrekvensen mer bekant som t.ex. e5d.
Där h är halveringstiden mätt i dagar.

Hur vi gör:

1. Börja med att bestämma hur mycket prepp du skall sticka varje gång. Dvs talet c. Formeln fungerar bara om vi sticker samma mängd prepp varje gång vilket vi bör göra av biverkningsskäl.
2. Tag sedan reda på hur ofta du vill injicera. Formeln fungerar bara om man injicerar lika ofta hela tiden injicerar man var tredje och var fjärde dag om vart annat är det tillräckligt rätt att säga att i = 3.5, dvs att injektionerna sker var tre komma femte dag.
3. Tag sedan reda på halveringstiden på det prepp du vill injicera, dvs talet h.
4. Beräkna sedan ett ungefärligt värde på a. Ha med minst två decimaler.

Hur beräknar vi a? Ett exempel:

a = 2^(-i/h)

Vi säger att vi vill injicera var tredje dag och kör på Galenika. Då gäller att i = 3 och h = 5. Eftersom injektionsfrekvensen är 3 och halveringstiden är 5 dagar.

a = 2^(-3/5) ≈ 0.66

Alltså är a ungefär lika med 0.66.

Talet c, alltså hur mycket vi sticker varje gång måste också vara valt eller nu väljas:
Vi väljer att injicera 500mg var tredje dag, då är alltså talet c = 500.

Då ser vår formel ut såhär:

p = c(1-aⁿ)/(1-a)
p = 500(1-0.66ⁿ)/(1-0.66)

Om vi vill veta vad p är vid en viss injektion. Dvs veta vad mängden prepp är vid t.ex. injektion nummer 5 så sätter vi bara n = 5 och vi får ut värdet på p genom att "räkna ut" värdet.

Vid femte injektionen gäller alltså:

500(1-0.66⁵)/(1-0.66) ≈ 1286

Dvs direkt efter femte injektionen har vi 1286mg prepp i kroppen.

Först vill jag tacka så mycket för hjälpen Bengan! Du la ner riktigt mycket tid på det svaret och du visar än en gång att du är räknedosan att räkna med "notera mina ord" i dubbel bemärkelse

Jag förstår precis vad du menar då du förklarade väldigt tydligt i ditt svar!

Själv kom jag med din hjälp fram till att --->

p4 = 1575 mg
p5 1740
p6 1859
p7 1945
p8 2007
p9 2052
p10 2085
p11 2109
p12 2126
p13 2138
p14 2147
p15 2154
p16 2158
p17 2162
p18 2164
p19 2166

p20 = 2167 mg

Alltså dag 140 stick 20 ökar det endast med 1mg på den veckan sedan är det mindre än 1mg för varje vecka, tillslut nanoökningar!

Så jag skulle gissa i runda slängar att det blir svårt att komma över 2200mg inom en snar framtid iaf?

Jag är iallafall mycket nöjd med svaret du gav!

PS: Ska försöka tillämpa detta på oxar! Il be back!

Oxar 7-15 timmars halveringstid och helvete om man tar dem utspritt och under inga bestämda tider

Blev svårt nu

Speciellt då halveringstiden var så obestämd. Men om man tittar på det snabbt så kan man ju se att det liknar första problemet ganska mycket om man bestämmer sig för att halveringstiden är 15 timmar och att man tar dosen var 7e timme, då blir det ju lite samma bara att dagar blir timmar eller är jag helt ute och cyklar?

Du behöver inte räkna på det Bengan du har gjort tillräckligt! leker lite med tanken bara.

Mvh / T

Det är lätt.

p = c(1-aⁿ)/(1-a)
Bestäm c, alltså hur mycket prepp du skall trycka i dig varje gång.

Beräkna a med hjälp av administrationsfrekvensen och halveringstiden.

a = 2^(-i/h)
Där i är administrationsfrekvensen
Där h är halveringstiden.

Beräkna alltså a och bestäm c. använd sedan allt i formeln för p. Busenkelt! Om du inte fixar det själv så be om hjälp bara så hjälper vi dig!

p = c(1-aⁿ)/(1-a)