Högskola, Ekvation

Tjena har fått en fråga som jag ska lösa enligt följande:

"Analysen av en dämpad fjäder leder till ekvationen

x^2+cx+k=0

där c och k är reella positiva konstanter (dämpningen respektive styvheten). Redogör för vilka olika typer av rötter till ekvationen som kan uppkomma. T.ex. genom att dela in första kvadranten i (c, k) planet utifrån rötternas karaktär."

Behöver lite vägledning hur jag ska ta mig till. Osäker på om jag tänker rätt. Mvh

c,k>0 va?

nu ska vi se
(x+c/2)² - (c/2)² + k = 0
x+c/2 = +-sqrt((c/2)² - k)
x = -c/2 +-sqrt((c/2)² - k)

Du får exakt 1 (dubbel)rot om (c/2)² - k = 0
2 rötter om (c/2)² - k > 0
inga röttar om (c/2)² - k < 0

Rita upp kurvan (c/2)² - k = 0.

Du borde fundera lite på vad det innebär om roten är reell, imaginär eller 0.

Försök koppla det till hurvida systemet är under- eller överdämpat. Vad innebär det då det är en dubbelroot?

Du skall undersöka diskriminanten till ekvationen x^2+cx+k=0, där c och k är reella tal. För våran ekvation erhåller vi diskriminanten D=c^2-4k. När diskriminanten är positiv så är båda rötterna reella. Är diskriminanten 0? Det innebär att ekvationen har en rot med multiplicitet 2(dvs. dubbelrot). När diskriminanten är negativ så är båda rötterna imaginära.

Det var ett tag sen jag räknade denna matten, precis hoppat in i det. Men jag antog att jag ska ta fram två lösningar för x. Och rita upp den som en vanlig andragradare.

Slog den på Wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x2+%2B+cx+%2B+k+%3D+0

Över- , underdämpat?

Inser att jag är för okunnig för detta, skulle någon kunna skriva vad det blir och förklara hur/varför?

Om nu inte dMobergs svar stämde? förstår hur han går tillväga och hur kurvan ska ritas. Men det som ni andra vill att jag ska resonera kring förstår jag inte riktigt.

Låter bilden tala för sig själv

http://commons.wikimedia.org/wiki/Fileamping_types.PNG

Ett underdämpat system passerar jämviktsläget innan dämpningen upphör.
Ett överdämpat system gör det inte.

Kritisk dämpning är den dämpningen som snabbast återför massan i jämviktsläge.


Ekvationen du löser kommer ju från rörelseekvationen:

mx''+cx'+kx = 0 (där x' = dx/dt och x'' = dx^2/d^2t)

x'' + x'(c/m) + x (k/m) = 0 (SDOF-system)

den uppstår om man antar lösningen

x = Ae^(wt)
x' = wAe^(wt)
x'' = w²Ae^(wt)

där (w = egenfrekvensen [rad/s], A=godtycklig konstant)

De ger

Ae^(wt)*(w² + w(c/m) + k/m) = 0

där Ae^(wt) = 0 är den triviala lösningen. Den andra lösningen är

(w² + w(c/m) + k/m) = 0

I ditt fall så har man antagit dämpning per massa och styvhet per massa.

Hursomhelst: lösningen till detta är

w = -c/2m +- (1/m)√(c²/4m - k)

Det är här de blir intressant:

Vad händer om

c²/4m < k

Allt under rotteckning blir negativt och egenfrekvensen blir imaginär??

Åfan, denna uppgiften har läraren haft roligt att göra... Är förövrigt en grundläggande matematikkurs som jag läser, ingen fysik, kanske är värt att nämna. :P

Så poängen som jag ska fatta är att ifall: k < (c/2)² blir båda rötterna imaginära och jag antar att detta inte funkar som en rot. T.ex analysen gick ut på att ta reda på fjäderkonstanten för en perfekt* fjäder som "håller tillbaks" fjädern vid tryck. Denna fjäderkonstant borde då vara konstant. (eller?)

Och att ifall k > (c/2)² så får du två reella rötter? som funkar som rötter?

*Felfri, homogen fjäder och utan påverkan från yttre faktorer

Bör jag göra som dMorberg säger och rita upp (c/2)² - k = 0? Isf förklara vad kurvan beskriver..

Tack för svaren!

Ah okej! Är lite osäker på om jag kanske krånglar till det för dig, men here it goes:

Tänker inte gå in på matematiken bakom men om k < (c/2)² så blir roten negativ och x får då lösningen

x = Ae^i(...*t)

Detta skrivs om med några matematiska regler till

x = e^-(...*t) * (a*sin(...*t + fasförskjutning)

(...) består av lite olika konstanter beroende på vad du har för massa, fjäderstyvhet och dämpningskonstant. Vi behöver inte gå in på djupet vad de ska vara. konstanten a och fasförskjutningen bestäms med hjälp av initialvillkoren.

Men vad jag vill visa här är karaktären på kurvan. Cos och sin är som du säkert vet svängningar medan e^-(...*t) kommer vara en avtagande funktion som närmar sig 0 då t ökar. Dvs ett svängande system som tillslut stannar.

om istället k > (c/2)² så får vi en reell lösning på w.

och ekvationen för x(t) får istället utseendet

x(t) = Ae^(-...t + konstant)

Dvs en funktion som utan att svänga sakta avtar (överdämpat system).

Och är

k = (c/2)²

så får x(t) lösningen

x(t) = (a + bt)e^(-w_n*t)

där w_n = egenfrekvensen

De kritiskt dämpade systemet kommer alltid snabbast nå jämviktsläge. Förutsatt att alla andra parametrar är samma.

Helt ärligt krånglar du till det lite. Jag förstår att den är baserad på en annan ekvation men. Jag tolkar att uppgiftens syfte är att ta fram ekvationens rötter och resonera ifall de är lämpliga. Och sedan rita upp ett konstant värdes ekvation (k-värdet) och resonera varför det ser ut som det gör. Är mitt resonemang fel? :P