Inducerad metrik och kovektorer

Hallå igen!

Sitter här och försöker få ihop lite matematik på kvällskvisten men symbolerna vill sig inte.

Först och främst undrar jag om det är ett av mina missförstånd eller om det inte är lite missvisande att vi skriver en integration över en d-volym som:
[; \int_V f(x^1, ..., x^d)dx^1dx^2 \cdots dx^d;]
Varje gång jag läser om analys på mångfalder så är det differential formerna (korrekt svenska?), [;dx^1\wedge dx^2 \wedge\cdots\wedge dx^d;], som vi integrerar över. Men sen sätter jag mig ner och räknar och då har wedgeprodukten byts ut mot juxtaposition (som motsvarar den symmetriska produkten)!
Om det faktiskt var differential formerna vi integrerade över så borde vi väl ha:
[;\int f(x,y) dx\wedge dy = - \int f(x,y)dy\wedge dx.;]



Ps. Frågan om inducerad metrik uteblev just nu.. tar mig tid och skriver den i dagarna när jag klurat lite. Om moderator tillåter så kan tråden heta som den gör så slipper vi skapa två trådar för snarlik matematik

Korrekt så när som på särskrivning: differentialform(-er(-na))


Du har rätt. Men när man skall integrera en differentialform sorterar man koordinaterna innan man kör itererad integration:
[; \int f(x, y) \, dy \wedge dx = - \int f(x, y) \, dx \wedge dy = - \int\!\!\!\int f(x, y) \, dx \, dy ;]

Se http://upload.wikimedia.org/math/5/4/2/542d2741beb2ae1b9210e4f207bd2675.png hämtad från http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form#Integration

Alltså,
[; dx \, dy = dx \wedge dy ;].

Tack manne! Läste och förstod även om jag glömde bort att svara.

Blev tyvärr inget ang inducerad metrik men har två frågor till (huvudsakligen intuitionsrelaterde) ang analys på mångfalder.

Först och främst så har jag kommit in på yttre derivata där det står d(dx) (där x är en k-form) alltid är noll. Har alltid fått för mig att detta, i grund och botten, har att göra med faktumet att "randen av en rand" alltid är noll. Någon som kan bekräfta och möjligen förklara lite? :/

De delmängder av ett symplektiskt vektorrum som är lika med dess symplektiska komplement (korrekt svenska?) kallas för lagrangian delmängder. Har detta något att göra med lagrangian formalismen i fysiken?

Grymt intressant ämne detta.
Tusen tack för tid ock svar!

Det hänger ihop på ett intressant sätt. Du vet att differentialformer är det vi naturligt integrerar över. Sen finns det ett djupt resultat som kallas Stokes sats, som säger
[; \int_C d \omega = \int_{\partial C} \omega ;]
som du kanske känner till? Här är omega en (p-1)-form och C en p-dimensionell delmångfald av vår mångfald M. Om vi då istället tar
[; \int_C d ( d \omega) = \int_{\partial C} d\omega = \int_{\partial \partial C} \omega = 0;]
eftersom randen av en rand är tom. Detta gäller för alla möjliga val av C så enda sättet ursprungsintegralen kan försvinna är om d^2 w=0. Detta visar att sakerna är relaterade: integrering över delmångfalder ger ett sätt att "para ihop" p-former och p-dim. delmångfalder, och Stokes sats visar att yttre derivata under denna parning motsvarar att ta rand; de är varandras konjugat så att säga, så om randen av en rand är noll måste d ha samma egenskap.

Hinner inte tänka på andra frågan just nu, men ska försöka tänka på det senare. Håller helt med om att detta är ett grymt ämne.

Enligt definitionen av rand till mångfald, kan påpekas.

Tack för svar!
Nästa kapitel boken heter de Rahm Cohomology.. har ingen aning om vad det handlar om så funderar på att skippa det. Vad säger ni erfarna, är det av intresse för fysiker? Är det Vackert?!

http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology

Inget jag vet särskilt mycket om. Kanske bra att kolla första avsnitten, så att du vet vad det handlar om, men avvakta med de senare avsnitten i kapitlet.

Jo, det är intressant för fysiker skulle jag säga. Cohomology dyker upp lite här och där i teoretisk fysik, och de Rham cohomology är enligt mig ganska lätt att förstå. Vilken bok är det du läser, förövrigt?

Angående din andra fråga: jag kunde inte svara på den på rak arm, jag visste vad lagranska delmångfalder var men inte hur eller om de hänger ihop med mekanik. Efter att ha läst på lite tror jag att jag förstår lite hur det funkar, så jag kan försöka förklara, det är nyttigt för att se om man faktiskt fattar. De dyker upp i klassisk mekanik, men i den hamiltonska formuleringen snarare än den lagranska.

Säg att vi har ett fysiskt system med n frihetsgrader, med fasrum M (rummet av alla koordinater och relaterade rörelsemängder) och Hamiltonian H. M är ju då en symplektisk mångfald med symplektisk form given av
[;\omega = \sum_{i=1}^n dx^i \wedge dp^i ,;]
och anta vidare att vi har n bevarade storheter (integrals of motion), och att energin (dvs. H) är en av dem. I så fall är rörelsen av systemet i M begränsad till en n-dimensionell delmångfald: och denna är precis en lagransk delmångfald.

Ah schysst, jag läser Introduction to smooth manifolds av John Lee. Vad rekommenderas annars för litteratur på ämnet? Ska nog ge mig på Walds eller Misner, Thorne och Wheelers gravitationsböcker sedan, har inte bestämt vilken det blir än.

Haha, jag skrev ett väldigt flummig inlägg som resulterade i en intressant tolkningsfråga, men jag tror det blev lite för flummigt för att jag faktiskt har tänkt igenom det i rigorösa termer. Återkommer när mina lärare ger oss ett break med inlämningsuppgifter i andra kurser.