Lagrangian mechanics

Hej
(tar ett litet tag innan frågorna kommer insprängda i texten)

Har precis börjat en kurs i mekaniska vibrationer där man börjar med att presentera Lagrangiansk mekanik. Tyvärr är där ingen bok utan kursmaterialet består av ett kompendium handskrivna "Lecture Notes" som mest bara presenterar formler utan att förklara. Därför kollar jag rätt mycket rundor på nätet för att få någon intuitiv bild av det hela.

Min uppfattning hittills är att man för problemet i fråga ställer upp en lagrangian som är en funktion av generaliserade koordinater och deras hastigheter samt tiden. (1. Varför tiden explicit? Definierar den på något sätt också systemet?)
Denna lagrangian hittas på något sätt (2. Hur då? Är det här man uttnyttjar d'Alamberts princip samt att man antas ha kunskaper om de aktiva krafterna? Dissipation function för icke konservativa krafter m.m.) och är för konservativa krafter T-V.
Integralen av denna över tiden (stationary action S) skall hållas konstant vilket leder till att "variational derivative"/"functional derivative" (3. Är dessa samma? Variational derivative på wikipedia länkar till functional derivative) av denna skall bli noll (4. Det är väl variational derivative på S? Både i "Lecture Notes" samt på Wikipedia under "Lagrangian Mechanics; Lagrange equations of the first kind" noterar dem det på Lagrangianen, men denna är väl ingen funktional?).
Detta leder till Euler-Lagranges ekvationer som är ekvivalenta med Newtons andra lag.

5. Varför går man vägen via att minimera S? Euler-Lagranges ekvationer kan väl ställas upp direkt och det är väl dessa man vill lösa? Ger minimeringen av någon påhittad såkallad "action" S någon form av förståelse som jag inte ser?

Lagrangianen kan bero explicit av tiden. Därför tar man med den.
Ett exempel är en oscillerande kropp som drivs av en yttre kraft som varierar med tiden.


Här har du nog rätt i att det inte alltid finns någon klar väg att gå.


Jag skulle inte säga "skall hållas konstant". Det handlar om att systemets utveckling följer en väg som minimerar (eller maximerar) integralens värde.

Jag vet inte om variational och functional derivative definieras exakt likadant, men någon större praktisk skillnad lär det knappast vara.


Det stämmer att det är på S som variationsderivatan tas. Denna derivata kan dock flyttas in under integraltecknet och ger då partialderivator på L.


I de exempel du har sett är det antagligen bara kraftekvationer. Man börjar naturligtvis med detta för att det är något som studenterna känner väl igen.


Om man genomför koordinatbyte så blir det nog enklast att betrakta integralen. Är säker på att det finns andra exempel, men kommer inte på just nu.

1. Systemet kan ha ett direkt beroende på t, om det t.ex. involverar någon yttre apparat som gör något oberoende av resten av systemet. Detta är såklart en förenkling och beror på hur mycket man väljer att involvera i sitt system.

2. Lagrangianen för grundläggande fundamentala saker som t.ex. en fri partikel dikteras av vilka symmetrier man antar att världen har (translationssymmetri, rotationssymmetri, tidssymmetri, Lorentzsymmetri etc.). För våra grundläggande krafter, EM, gravitation osv., bestäms också Lagrangefunktionen från symmetrier (då blir frågan istället "varför dessa symmetrier?", något ingen vet). Rent praktiskt är det väl i grunden en empirisk fråga; man hittar en funktion som beskriver det man ser på ett bra sätt.

3. variational och functional derivatives är samma sak, ja.

4. Visst, man varierar egentligen S, inte L, det man kräver är δS=0. Detta kommer ju t.ex. in när man använder att ändpunkterna hålls fixa så att man kan bli av med totala derivatan när man härleder Euler-Lagrange ekvationerna.

5. Rent historiskt kom väl minimeringen av S från Huygens princip, som sa att ljus rör sig så att färdtiden mellan två bestämda punkter minimeras. Detta var väl en inspiration för Lagrange. Minimeringen ger ju också en förklaring till varför ekvationerna ser ut som de gör; det är mer naturligt att säga att S minimeras än att bara slänga upp ett gäng diffekvationer. Sen i praktiken när man pratar klassisk mekanik behöver man nästan aldrig bry sig om S, räcker med att bestämma L och sen stoppa in i ekvationerna och lösa.

Från kvantmekaniken kan man sen få en typ av förklaring av varför δS=0 är intressant och beskriver klassisk fysik. Detta kommer från Feynmans vägintegralformulering av QM och är häftigt, men det går en bra bit utanför dina frågor.

Edit: Svara innan jag såg entropis svar, tack för dem svaren med! QM är häftigt men jag kommer nog aldrig bli så skillad att jag förstår mig på det

Men varför kan man inte uttrycka den som funktion av någon av de generaliserade koordinaterna som ju i sin tur beror av tiden? Har samma problem med varför ortsvektorn också sägs bero på tiden explicit och inte bara av de generaliserade koordinaterna om det kanske är lättare att förklara där.


Helt rätt, dåligt uttryckt av mig. Mena ju att delta S är noll.

Jag har inte ens hitta någon speciell definition av variational derivative utan det bara nämns lite då och då men verkar i stort mena samma.
Gott, det är också min tolkning så då står det bara lite olyckligt på wikipedia.
Jo precis, såg på wiki att det går att generalisera till en mängd områden. Antar att det också är en av anledningarna till att man gillar att uttrycka det så här förutom det med koordinatbytet.

Tack för alla svar!

Det du menar nu är att transformationsekvationerna till de generaliserade koordinaterna ska bero av tiden, alltså att Q = Q(q, t). (Sedan är ju q = q(t) när man väl hittat en kurva som minimerar S.) Men det är inte säkert att man kan hitta en enkel sådan transformation Q = Q(q, t) så att lagrangianen inte får något tidsberoende.

Du är dock någonting på spåren och om du har tur kommer din kurs ta upp det. Du har nog inte stött på dem än men man kan visa att Euler-Lagranges ekvationer är ekvivalenta med Hamiltons ekvationer

[;\dot{p}_i = \frac{\partial H}{\partial q_i} \qquad \dot{q}_i = -\frac{\partial H}{\partial p_i} ;]

där man inför nya koordinater [; p = \partial L/\partial \dot{q} ;] och H är sådan att [; L = (\sum p_i\cdot\dot{q}_i) - L ;]. Funktionen H kallas hamiltonianen. (Notera att p och q här är oberoende.) Men de generaliserade koordinaterna kan ju väljas på flera olika sätt och då kommer hamiltonianen bli något annat, säg K. Då skulle man ju kunna tänka sig att man försöker hitta ett koordinatsystem så att K blir så enkel som möjligt. Då får vi enkla ekvationer som vi kan lösa för att få P(t), Q(t) och för att få våra ursprungliga koordinater byter vi "bara" tillbaka. Kan vi hitta ett villkor eller en ekvation för ett sådant koordinatsystem? Nu ska S minimeras och det måste gälla i båda koordinatsystemen. Alltså

[; \delta \int_{t_1}^{t_2} P_i\cdot\dot{Q}_i - K(\Q, P,t)\,dt = 0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} p\cdot\dot{q}_i - H(q,p,t)\, d ;]

där variationerna är 0 vid ändpunkterna. Det är uppfyllt om det gäller att integranderna bara skiljer sig med den totala tidsderivatan dF/dt av någon funktion F av fasrummet och tiden. Den enklaste hamiltonianen man kan tänka sig är K ≡ 0. Säg att F = F(q, P, t) - Q_i\cdot P_i. Då är villkoret

[; \sum p_i\cdot \dot{q}_i - H = \sum (P_i\cdot\dot{Q}_i) - K + \frac{\partial F}{\partial t} + \sum \frac{\partial F}{q_i}\cdot\dot{q}_i + \frac{\partial F}{\partial P_i}\cdot\dot{P}_i - \dot{Q}_i\cdot P_i - \dot{P}_i\cdot Q_i ;].

Men q, P är oberoende, så man får genom att jämföra koefficienter

[; \frac{\partial F}{\partial q_i} = p_i \qquad Q_i = \frac{\partial F}{P_i} ;]

och

[; -H = -K + \frac{\partial F}{\partial t} ;]

men vi ville att K ≡ 0, så

[; 0 = H(q, p, t) + \frac{\partial F}{\partial t} = H(q, \frac{\partial F}{ \partial q}, t) + \frac{\partial F}{\partial t};].

Slutsats: vi kan göra oss av med hamiltonianens beroende på tiden (och alla koordinater) genom att lösa ekvationen ovan (Hamilton-Jacobi-ekvationen, heter den.) Problemet är bara att det är en icke-linjär partiell differentialekvation och de kan vara "lite" krångliga att lösa. (Sen visar det sig att längs en kurva som löser Hamiltons ekvationer gäller faktiskt F = S...)

Vet inte om det buggar för fler men ditt inlägg blev lite för långt när man har igång tex i chrome, fixade en länk till ditt inlägg (den knappen for också "utanför" det tryckbara ^^): https://www.flashback.org/sp40260205