En formel för en rullande cylinder ska bestämmas.

Hej alla.

Jag ska bestämma en formel där tiden är en funktion av en cylinders rotation längs ett lutande plan.

Jag har sökt på forumet och hittat trådar som vidrör ämnet. Men detta är så pass annorlunda att jag bestämde mig för att starta en egen tråd. Hoppas detta går för sig.

Detta är ganska omfattande, men jag ska försöka skriva det så rent jag kan.

Nu kör vi:

Ett praktiskt experiment har gjorts där cylindrar har rullats ner för ett plan med vinkel v. Det som erhölls vid försöket var cylindrar av 11 olika typer.

1 solid cylinder.
5 ihåliga cylindrar som delar yttre radie (R), fast där den inre (r) varierar.
5 ihåliga cylindrar som delar inre radie (r), fast den yttre (R) varierar.

Cylindrarna mättes med laser när de rullade utför planet och en tid på 4 decimaler gavs. Vi vet att massan inte spelar någon roll då detta delar många fysikaliska egenskaper med ett fritt fall. Detta handlar även om en "pure roll", där cylindern har roterat ett varv, när den har färdats en sträcka ekvivalent till dess omkrets. Den glider eller slirar alltså inte.

För att bestämma formeln vill vi göra många rullningar utför planet. Där vi vid varje rullning låter alla variabler förbli konstanta utom en.

Jag valde att göra en default "ansats" att utgå från i experimentet, för att sedan kalibrera den när jag bestämt vilka exponenter variablerna skulle ha.

t=k*(l^a)*(v^b)*(r^c)*(R^d)

Det är viktigt att dela upp detta i delansatser för att bestämma vilka exponeneter de individuella variablerna ska ha i den slutgiltiga formeln. Vi vill alltså bestämma a, b, c och d. Mina löd likt följande:

Längden:

t=k*l^a

l är längden, k är en konstant som är irrelevant. Jag valde att släppa cylindern olika högt upp på ett plan med en konstant vinkel. Samma cylinder användes varje gång. Detta plottades i matlab med t som funktion av l.

Exponenten 1/2 bestämdes. Denna del är klar.

Vinkeln:

t=k*v^b

v är vinkeln, k är en konstant som är irrelevant. Jag valde att släppa en konstant cylinder vid en konstant planlängd och variera vinkeln. Detta plottades i matlab med t som funktion av v.

Exponenten -1/2 bestämdes. Denna del är klar.

När vi ska göra detta med inre samt yttre radien blir det lite mer komplext. Då den yttre radien är konstant och man varierar den inre så måste man låta r (inre radien) gå mot 0. När r är 0 är cylindern solid. Därför rullades även en solid cylinder i detta försök. Då vi får ett r-värde som är 0 går inte detta att linjarisera och det måste kompenseras för.

t-r0=K*r^c

Exponenten bestämdes till 2, vilket är rimligt.

Här kommer stället där jag kört fast. Jag ska bestämma yttre radiens(R) exponent. Samma tankegång går att göra här som i förra försöket när r varierades. När den yttre radien går mot oändligheten så blir den inre radien försumbar. Därför kan man även här rulla en solid cylinder.

Ju mer solid en cylinder är, destå snabbare rullar den. En solid cylinder rullar snabbare än en ihålig. Oavsett massa eller storlek eller längd.

Hur ska min ansats här se ut? Jag har läst mig till att exponenten ska bli -2, men jag kan inte härleda det. Någon smart kille som kan fixa detta direkt eller finns det kanske någon som gjort detta förr?

Min mätdata för variation av R är följande.

t(R): 1.834 2.20 2.11 2.08 2.05 2.033
R: 0 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

Ber om ursäkt på förhand för otydligheter.

Tack!

Cylinderns massa m = ρV = ρ π(R²-r²)L
Cylinderns tyngd G = mg = πρgL (R²-r²)
Framdrivande kraft F = G sin(θ) = πρgL (R²-r²) sin(θ)
Moment M = FR = πρgL R(R²-r²) sin(θ)
Tröghetsmoment I = (1/2) m (R²+r²) = (1/2) πρL (R²-r²) (R²+r²)
Vinkelacceleration α ≡ dω/dt = M/I = (πρgL R(R²-r²) sin(θ)) / ((1/2) πρL (R²-r²) (R²+r²)) = 2g R sin(θ) / (R²+r²)
Linjär acceleration: a ≡ dv/dt = R dω/dt = 2g R² sin(θ) / (R²+r²)
Tid: t = √(2s/a) = √(2s/(2g R² sin(θ)/(R²+r²))) = √(s (R²+r²) / (g R² sin(θ)))
= √(s (1+(r/R)²) / (g sin(θ)))

Alltså:
t ~ √s,
t ~ 1/√(sin(θ)) ~ 1/√θ för små θ,
t ~ √(1+(r/R)²)

Vilken boss du är!

Kan du förklara hur du kom fram till t ~ √(1+(r/R)²) lite mer "i ord" eller vad man kan säga. Varför blir det just inre genom yttre radien i kvadrat?

Utöver detta, stämmer de antaganden jag gjort i min TS? Är mitt teoretiska resonemang korrekt?

Imponerande att du orkade sätta dig in i det överhuvudtaget. Jag ska återvända till arbete i morgon och ditt bidrag kommer hjälpa mig stort. Tack!

mvh

Följ härledningen av formeln t = √(s (1+(r/R)²) / (g sin(θ))).


Ansatserna före beroendet av radierna är okej.
Men t-r0=K*r^c är inte bra. Jag rekommenderar införande av dimensionslösa storheter såsom r/R. Ansätt sedan t ~ a0 + a1 r/R + a2 (r/R)² + ...


Jag har själv gjort experimentet för snart 20 år sedan. Hade då teoretiskt tagit fram formeln i förväg på samma sätt som ovan.

Skulle det möjligen vara t=k* sin(v)^-1/2 ? Kanske du menade det.

Nej, det menade jag faktiskt inte!

t=k*v^b är bara en delansats, för att bestämma en exponent. Den har inget med det slutgiltiga sambandet att göra. Det man gör är att man kör ln på båda sidor och får med hjälp av reglerna för ln(x):

lnt=lnk+b*lnv

När man matar in alla mätvärden för t och v här så får man en rät linje där riktningskoefficienten blir b och konstanten lnk blir m-värde. När man sen höjer upp båda sidor med basen e så är man tillbaka där man var från början, fast med en fastställd exponent och en konstant. Konstanten är dock värdelös då den bara gäller för delansatsen. Hur man sen väljer att bygga den slutgiltiga formeln är en annan sak, då kommer sin(v) in i bilden!

Gött med en diskussion! Blev mer respons än jag vågat hoppas på efter min wall of text. Fortsätt gärna komma med synpunkter i mitt resonemang, det är både lärorikt och intressant att försöka motivera hur man gjort, även fast det inte nödvändigtvis är korrekt.

Det fetstilta ser inte rätt ut. Du har där skrivit att ytterradien är 0 när tiden är 1.834 s vilken inte låter rimligt. Du skrev ju innan att när R går mot oändligheten blir r försumbar.

t(R): 2.20 2.11 2.08 2.05 2.033 1.834
R: 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 inf

Hade t gått mot 0 när R går mot oändligheten hade ju ansatsen blivit t=k*R^d. Eftersom t går mot 1.834 blir den istället:

t=k*R^d+1.834

Bestäm exponenten på samma sätt som du gjorde med r. Jag provade själv och fick d=-1. Det verkade stämma ganska bra till dina mätvärden, då jag gjorde en kurvanpassning till dem med hjälp av d=-1.
http://img233.imageshack.us/img233/9599/53344778.jpg

Det är möjligt att exponenten skall bli -2, men det verkar den inte bli i ditt fall. Det är mycket som kan ha gått snett under mätningarna. Nu vet jag inte vad du använde för konstant innerdiameter, men är den alltför stor blir cylindern lätt och kan påverkas av ojämnheter mm. I alla fall vid små vinklar.

Hej!

Först, går du på LTU? Isåfall kan du ju dra iväg ett PM.

Sen, fundera över ansatsen. När innerradien går mot noll så går ju tiden mot noll i din ansats, ett uppenbart fel. Nu ger ju manne1973:s utmärkta härledning en ledtråd, men en rimligare ansats borde vara en konstant plus innerradien, eller ännu bättre: med lite motiveringar ifrån härledningen, en konstant + innerradien dividerat med ytterradien, eller:

t=k*(l^a)*(v^b)*(D + (r/R)^c),

eller för att underlätta beräkningarna lite, multiplicera in k i sista parentesen:

t = (l^a)*(v^b)*(K + L(r/R)^c)

där då K och L blir nya konstanter.

Genom att använda solida cylindrar kan man då bestämma konstanten K tämligen enkelt.

Din ansats, t=k*(l^a)*(v^b)*(r^c)*(R^d), är ofullständig och leder till problem om du vill göra en korrekt dimensionsanalys. - Tiden t beror ju även av storleken på tyngdaccelerationen g.

Varför?

g kan ju finnas som en faktor i k.

Men g har dimenssion, och det måste tas hänsyn, när man gör dimensionanalys?
(jag förstår kanske inte alls uppgiften)

Det skall göra ett studium av tiden för rullning på ett konstant plan med cylindrar. Den är alltså fullt empirisk, dock görs en ansats om att det är någon typ av potensfunktion.

g varierar ju inte så den är inte lika intressant att studera. De provar att variera inre radien, yttre radien etc etc. Men bara en enda sak i taget! Detta gör att alla andra världen är konstanta.

Det är alltså en formel av typen

t = kR^b

Där k är alla andra parametrar som i ett specifikt mätfall är konstanta. Tricket är nu då att använda logaritmering.

ln(t) = ln(k)+b*ln(R)

Alltså en formel av typen:

y = kx+m

Med hjälp av linjär regression kan man alltså ta reda på vad b bör vara. Då kan man t.ex. veta att "jahaa formeln, om ansatsen är korrekt, vet vi att ytterradien R varierar med kvadraten eftersom vi ser att b är ungefär lika med 2 efter linjär regression.

Då vet man typ att

t = kR^2

Sedan tar man nästa variabel och håller på så tills man har gjort så för alla tänkbara variabler som finns att variera beroende på vilka cylindrar man har tillgängligt att använda för att mäta rullningen.