Partial fraktioner

Har problem och lösa följande uppgift och behöver hjälp med den:

∫ (x-2)/(x^2+x) dx


Har kollat på wolfram men förstår inte riktigt vad den menar..


Tack på förhand!

(x-2)/(x^2+x) = (x-2) / (x*(x+1)) = /ANSATS / = A/x + B/(x+1) = [A(x+1) + Bx] / [x(x+1)]

Vi vill alltså bestämma konstanterna A och B så att likhet erhålles.

Vi ser att nämnarna är samma och behöver då göra så att nämnarna blir lika:

A(x+1) + Bx = x(A+B) + 1*A = x-2

Vi har alltså ekvationssystemet:
A+B = 1
A+0 = -2
, där vi direkt ser att A = -2 och B = 1--2=3

Vi har alltså integralen
∫ (x-2)/(x^2+x) dx = ∫ -2/x + 3/(x+1) dx = -2*ln(x) + 3*ln(x+1)

Faktorisera nämnaren: x^2 + x = x (x+1)

Ansätt (x-2)/(x^2+x) = A/x + B/(x+1).

Gör liknämnigt:
A/x + B/(x+1) = (A(x+1) + Bx)/(x(x+1)) = ((A+B)x + A)/(x(x+1))

Identifiera konstanterna så att uttrycket blir som önskat:
(A+B)x + A = x-2 skall gälla som uttryck (dvs för alla x)
Detta betyder A+B = 1, A = -2.
Alltså A = -2, B = 3.

Sålunda:
∫ (x-2)/(x^2+x) dx = ∫ (-2/x + 3/(x+1)) dx

Nu klarar du förhoppningsvis resten själv.

Tack för hjälpen! :-)