Positiv och negativ krökning

En sfär har positiv krökning. En sadelyta har negativ krökning. Men vad är det som bestämmer om krökningen är just positiv eller negativ?

"Mathematicians call the cue ball's surface a two-dimensional sphere and say that it has constant positive curvature. Loosely speaking, 'positive' means that were you to view your reflection on a spherical mirror it would bloat outward, while 'constant' means that regardless of where oh the sphere your reflection is, the distortion appears the same."

Brian Greene - The Hidden Reality s21

Förutsätter inte ovanstående beskrivning att vi är inte på sfärens yta, utan utanför den och tittar på den, och att vi inte är innanför den. Om vi var innanför skulle inte spegelbilden "bloat outward" utan snarare peka inåt eftersom den då är konkav och inte konvex?

Med positiv krökning borde man väl snarare mena något som kan upptäckas på sfärens yta.

Nu står det ju 'loosely speaking', men är liknelsen verkligen så felaktig som jag misstänker?

För att fortsätta frågan: en sadelyta har negativ krökning. Det borde den väl ha oavsett från vilken sida vi betraktar den? Den är inte en sadelyta bara 'uppifrån'.

Vad är det som verkligen bestämmer om en krökning är positiv eller negativ? Kan man alltid avgöra om den är krökt genom att observera objekts (trianglars etc) vinklar?

Tror du har rätt i att hans liknelse med speglar är ganska dålig, och förutsätter att man är utanför sfären. Ett bättre sätt att intuitivt tänka är nog att positiv krökning innebär att trianglar på ytan har vinkelsumma > 180 grader, negativ krökning < 180 grader och platt innebär vinkelsumma = 180 grader. Detta fungerar alltid för att avgöra krökning av en 2d-yta, ett resultat som upptäcktes av Gauss och kallas Theorema Egregium.

Jag håller med om att den där förklaringen verkar vara väldigt, väldigt haltande. Framförallt eftersom han lite senare skriver:


Nu har jag tyvärr ingen Pringles-formad spegel nära till hands för att testa, men det där låter ju inte ens sant. Det känns ju snarare som att man kommer förstoras i ena ledden, och förminskas i andra. Så hur otroligt det än kan låta, så tycker jag faktiskt att Brian Greene är ute och cyklar här.

Det måste ha varit känt innan eftersom det är vad Maupertuis använde 1736 på sin Laplänska resa. Gauss föddes 1777. För de som har navigerat på haven borde det också vara välkänt bra mycket tidigare.

För ytor (2-dimensionella mångfalder i R³) kan definieras flera olika sorters krökning!

Principalkrökningar finns det 2 stycken av på en yta, betecknade k₁ och k₂. De kan geometriskt tolkas som max- resp minvärdena av ytans krökning längs kurvor i 2 ortogonala riktningar sett från punkten man befinner sig i. Riktningarna ifråga kallas principalriktningar. Formellt utgör dessa egenvektorerna till matrisen för Weingartenavbildningen, medan ytans principalkrökningar formellt är de båda egenvärdena till samma matris. Goddag yxskaft.

Principalkrökningarnas tecken beror på om kurvan ifråga kröker sig mot kurvnormalens riktning eller från den.

Gausskrökningen, K, är produkten av egenvärdena: K = k₁k₂. Geometriskt tolkning av K:
Tänk dig att du står på ytan S i punkten p, och konstruerar en enhetsnormal N(p) i p. Börjar du röra dig över S så kommer N bibehålla samma riktning endast om S är en plan yta! På en krökt yta S, säg en sfär, kommer N att ändra riktning. Anta nu att du avsöker en begränsad del av S. Beteckna arean av detta ytstycke A(S). Då kommer N att ändra riktning, och avsöka ett litet ytstycke S₁ på enhetssfären med sin spets. Beteckna arean av detta ytstycke A(S₁).

Geometriskt tolkas K som kvoten K = A(S₁)/A(S). Mera korrekt ska K betraktas som gränsvärdet då S krymper mot p, dvs då S →p.

Intuitivt kan K tolkas som ett mått på hur snabbt ytans tangentplan (och enhetsnormalen) ändrar riktning när man sveper över ytan.

Den ovan beskrivna geometriska metoden med enhetsnormalen heter Gaussavbildningen. Mera exakt är Gaussavbildningen en avbildning från en punkt på ytan S till enhetssfären. Den som läst flerdimensionell analys och ytintegraler minns säkert det analytiska uttrycket för N som normerade kryssprodukten av ytans tangentvektorer.

Medelkrökningen H, definieras som medelvärdet av principalkrökningarna: H = ½/(k₁+k₂). Strängt taget är H inget ytkrökningsmått utan ett medelvärde av kurvkrökningsmåtten k₁ och k₂.

När man talar om en ytas S:s krökning i punkten p avses i allmänhet K(p) om inget annat anges.
K(p) < 0 innebär att principalkrökningarna har olika tecken i p. Det kan visas att i sådant fall skär tangentplanet till S i punkten p ytan S där. Tixempel en sadelyta såsom grafen av funktionen z=xy.
Dess tangentplan genom origo skär ytan själv i origo.

För yta med K<0 gäller att randkurvan till det avsökta området S har en orientering, medan randkurvan till det avbildade området på enhetssfären S₁ får motsatt orientering.

Observera att en cylinder har K=0, ty en av principalkrökningarna är = 0.

Liknelsen med speglar är dålig, ja, då de reflekterade strålarna knappast är parallella med ytnormalen. Och Gausskrökningen definieras med Gaussavbildningen, dvs med ytnormalen!

Vinkelsumman av polygoner ges snarare av Gauss-Bonnets formel (inte helt bra beskrivning):

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Bonnet_theorem

Teorema egregium är den sats som säger att K är invariant under lokala isometrier. Mera goddag yxskaft!

I klartext betyder det att K förblir oförändrad under lokalt längdbevarande avbildningar. Allmänt är lokalt längdbevarande avbildningar t.ex. böjning av ytan, däremot inte sträckning eller kompression av ytan. Man kan säga en avbildning som inte sliter sönder en yta av ett stelt material såsom papper. Och K förblir alltså oförändrad vid exempelvis böjning av ytan.

Rätt märkligt; tänk en halv pingisboll av mycket tunt material. Om man nu försiktigt böjer ytan utan att sträcka den så ändras inte K!

En konsekvens av detta är att ytor som inte har samma K ej kan avbildas isometriskt på varandra. Till exempel existerar ingen lokal längdbevarande avbildning mellan en sfärisk yta (K=1/R²>0) och ett plan (K=0). Därför kan inte jordytan avbildas isometriskt på en plan karta!

Om man räknar och räknar (tar några timmar) så går det att härleda ett analytiskt uttryck för K som funktion av metriken (Brioschiformeln): http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature#Alternative_Formulas
Härledningen av denna maffiga formel utgör det analytiska beviset för Teorema Egregium.

Tror faktiskt att Brian Greene missuppfattat det där.

Tänk på enhetsnormalen N på ytan och hur den rör sig om man vandrar iväg. På en sadelyta borde då N "fokusera inåt" längs en kurva (ungefär som en fokuserande spegel, bör inte vara så svårt att föreställa sig intuitivt). Men i en riktning vinkelrät däremot bör istället N "spridas utåt". För betraktaren som stirrar in i en sådan spegel uppifrån borde det se ut som att spegelbilden dras ut i ena riktningen, medan den trycks ihop i den andra (vinkelräta) riktningen.

Det som torde vara relevant storhet på ytan i dessa geometriska konstruktioner är ytans andra fundamentalform: http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form

Kort uttryckt kan man säga att koefficienterna för denna utgör en kvadratisk matris, vars komponenter utgör ett mått på hur ytans enhetsnormal (och därmed även tangentplan) vrids i tangentvektorernas riktning.

En bättre geometrisk (och analytisk) beskrivning ges av den s.k. formoperatorn
(the shape operator): http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_operator#Shape_operator.
Även kallad Weingartenavbildningen (Weingarten map). Analytiskt ges komponenterna av matrisen för Weingartenavbildningen av Weingartens ekvationer: http://en.wikipedia.org/wiki/Weingarten_equations

Formellt ges formoperatorn av matrisen för Weingartenavbildningen i lokala koordinater. Gausskrökningen definieras som determinanten av denna matris, medan medelkrökningen definieras som halva spåret av matrisen.

Öh, det blev nog lite kryptiskt på slutet...

Hmm, hur menar du då? Spontant känner jag att det är medelkrökningen som är avgörande för hur stor arean av "spegelbilden" blir. Om ε är infinitesimalt liten, så borde man, infinitesimalt, förstoras med en faktor 1+εĸ1 i första principalriktningen och 1+εĸ2 i den andra. Totalt förstoras man alltså med en faktor (1+εĸ1)(1+εĸ2) = 1 + ε(ĸ1+ĸ2) = 1 + 2εH. Men H är ju ingen inneboende egenskap, så det är knappast den krökningen han avser.

Men jag håller helt med om att Brian Greene verkligen borde veta bättre.

Håller med dig i din beskrivning ovan. Den är mera intuitiv än min tolkning.


Själv har jag blivit barnsligt förtjust i Gaussavbildningen, och föreställer mig alltid för min inre syn en enhetsnormal som sveper över ytan, och dess spets som avbildas på enhetssfären.

Med det i bakhuvudet känns det naturligt (iaf i någon mening) att bilda skalärprodukterna av N:s partiella derivator med tangentvektorerna till ytan. Mao att beräkna 2:a fundamentalformens koefficienter.

Edit: bör bli (1+εĸ1)(1+εĸ2) = 1 + ε(ĸ1+ĸ2) + ε²(ĸ1ĸ2) = 1 + 2εH + ε²K

Men en principalkrökning är negativ på en sadelyta, så det blir förminskning i en riktning.

Har någon ett förslag på bok som täcker den här delen av matematiken / geometrin?

Om man läst flervariabelanalys och vektoranalys så känns mycket igen i
Manfredo P do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces
http://books.google.se/books?id=6BAZAQAAIAAJ&q=do+carmo&dq=do+carmo&hl=sv &sa=X&ei=URbNT_-eOdDQ4QTlvukI&ved=0CDYQ6AEwAA

Betydligt jobbigare är
John Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry
http://books.google.se/books/about/Elementary_Topics_in_Differential_Geomet.html?id=W kUUj_nvFBcC&redir_esc=y
Säger i stort sett samma sak, men krånglar till beteckningar och resonemang.
Har annan infallsvinkel på i synnerhet Gausskrökningen. Det krävs rätt mycket eftertanke innan man inser att det är samma sak i annan formulering.

En man inte ska fundera på som nybörjare är:
Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I - V
http://www.amazon.com/Comprehensive-Introduction-Differential-Geometry-Edition/dp/0914098705
Stora kompakta och svårsmälta tegelstenar.
Introduktionen till Gauss ytteori i vol II är knappast för nybörjaren, snarare för den redan frälste.


Ypperliga föreläsningskompendier att ladda ner:

"An Introduction to Gaussian Geometry"
http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/Gauss.pdf
Jämförbar med do Carmo ovan.

"An Introduction to Riemannian Geometry"
http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/Riemann.pdf
Betydligt tuffare, jämförbar med Spivak.

Med "ε är infinitesimalt liten" så menade jag att ε² är försumbar, men inte ε.


En annan bok, utöver de GaussBonnet nämnt, som jag tycker är bra är Montiel och Ros, Curves and Surfaces. Den ligger på snäppet mer avancerad nivå än do Carmo skulle jag säga.