Derivering av trigfunktionerna med grader och radianer

Okej, en gång för alla nu. Kan någon ge en rigorös förklaring till varför t.ex. (sinx)'=cosx omm man "räknar x i radianer" och samtidigt varför det inte är så när man "räknar x i grader", t.ex. Vad innebär det för gränsvärdet att man "räknar x i grader/radianer"? Har frågat både när och fjärran utan att egentligen få något tillfredsställande svar, och då hamnar det såklart på flashback till sist

För att bredda diskussionsunderlaget lite: varför pratas det överhuvudtaget inte om detta underliga faktum när man lär sig att derivera trigfunktionerna? Vi fick lära oss att se x som radianer var det "riktiga" sättet man gjorde på, och när man inte gjorde på det riktiga sättet fick man göra om svaret man hade till radianer på nåt sätt. Men varför är radianer det "riktiga" sättet då?

Radianer mäter förhållandet cirkelns båglängd och dess radie; om du lägger cirkelns radie längs randen och mäter vinkeln av den "tårtbit" som bildas så får du 1 radian. Se http://sv.wikipedia.org/wiki/Radian
Därför blir det ett naturligare vinkelmått, ett varv blir ungefär 6 rad eller exakt 2pi rad.



Varför man inte räknar med grader är för att man delar in cirkeln i 360 delar vilket i sig inte är någon naturlig uppdelning, vi hade lika gärna kunnat delat upp den i 60 delar.

Det hänger ihop med hur man bevisar gränsvärdet sin(x)/x = 1

http://www.youtube.com/watch?v=vz9_102nL8M

Här måste vinkeln vara mätt i radianer för att arean av en cirkelsektor med radie 1 och vinkel v ska vara v/2.

Varför det inte pratas om detta faktum? Jag gissar att du menar i gymnasiesammanhang, och då är det sällan man tar upp det strikta beviset på derivatan av sin och cos, där man blandar in gränsvärden. Ifall man gör det så bör man stöta på beviset i länk ovan och då kan man inte undgå det faktum att vinkeln måste vara i radianer.

Naturvetenskapliga uppgifter -> Moderforum

/Mod

Förlåt för OT, men den där flytten måste vara ovanlig

h -> 0 i alla beräkningar:
Derivatans definition ger

sin(x + h) - sin(x)/h = 2cos(x + h/2)sin(h/2)/h =

cos(x + h/2)sin(h/2)/(h/2) -> /sin(h/2)/(h/2) -> 1 då h -> 0/ -> cos(x)

V.S.V.

Varför detta endast fungerar för radianer
är pga gränsvärdet sin(t)/t -> 1 då t -> 0 är visat med hjälp av radianer. I det beviset måste vinkeln vara mätt i radianer för att arean av en cirkelsektor med radie 1 och vinkel u ska vara u/2 a.e. Vi skulle enkelt kunna hitta en motsvarande derivata för sin(x) mha grader men den skulle skalas på ett fult sätt.