Abstrakt algebra, vad är det bra för?

Ber om ursäkt för den något provocerande rubriken Det ligger till såhär: jag har precis avlagt mitt första år på kandidatprogrammet i matematik och tänkte använda sommaren till diverse matematisk verksamhet. Algebra är väl det som jag känner att jag har minst koll på (även om jag tycker att det är riktigt kul) så tanken är att jag ska ta mig en bit in i boken "Abstract Algebra" av Grillet, som tydligen ska vara bra.

Till min fråga: Vad skulle ni säga är "huvudmålen" med matematiken som byggs upp i boken? Alltså, hur skulle ni beskriva "vad det är bra för" till någon som inte har läst texten? Det skulle vara skönt att ha någon slags översikt över vad det är man håller på med så att man kan trassla in sig i detaljer med gott samvete!

Kan ge ett exempel på vad jag menar:
(Hubert, 15 år): Vaddå derivata, varför ska vi kunna det? Vad har det för nytta?
(Du): T.ex. så kan du bestämma när en funktion antar sitt största resp. minsta värde och hur fort den växer/avtar i en viss punkt, under vissa förutsättningar.

Länk till bokens innehållsförteckning: http://goo.gl/iDVpW

Gruppteori behövs för att lösa vissa typer av kombinatoriska problem.

Säg att du har en kub och skall måla varje sida i en av tre möjliga färger. Hur många olika kuber kan du tillverka?

729!

Exemplet med derivatan är bra. Derivatan känns abstrakt i början men man inser snabbt dess användbarhet. Som aritmetiken handlar om talen och dess användbarhet, så handlar grupper om en annan sorts matematiska objekt och deras användbarhet. Ibland används grupper för att beskriva system av symmetrier, tex i kvantfysiken, men egentligen är en grupp inget annat än ett slutet system av inverterbara funktioner från en mängd till sig själv, där kompositionen är sammansättning av funktioner. Senare kom man på att grupperna också kunde beskrivas av de fyra axiomen.

Ringar är generaliseringar av tal. Genom att som i gruppteorin fokusera på axiomen, så studerar man vad som är typiskt för olika ringstrukturer. Moduler är som linjära rum, men över ringar istället för över reella eller komplexa tal eller andra kroppar. Ofta studerar man ringar och kroppar som genereras av funktioner under addition och multiplikation. Lösningarna till vissa differentialekvationer, tex i kvantteorin, utgör ringar.

Galoisteorin visar hur vissa egenskaper hos kroppar kan karaktäriseras av grupper. Sambandet mellan utvidgning av kroppar (tex genom att utvidga Q med några irrationella tal) och motsvarade grupper kan användas för att visa att att det inte finns någon generell lösning till femtegradsekvationen med upprepade rotutdragningar.

Homologisk Algebra är ännu ganska oanvändbart i fysiken, men teorin är mycket intressant och visar hur den moderna algebran med kategoriteori osv "fungerar". Tensorprodukten har ett samband med allmänna relativitetsteorin.

Det var en omfattande bok ,måste jag säga. Den borde vara av intresse i åratal.

En sak är säker, all abstrakt algebra får konsekvenser utanför matematiken.

Precis som linjära rum dyker upp överallt i analysen, dyker andra typer av algebraiska strukturer upp överallt i hela matematiken.

Nej.

729! ~ 1.43944*10^1772

Tja, jag vet inte om det där är sant. Homology och cohomology används flitigt inom mer teoretiska behandlingar av kvantfältteori och supersymmetriska teorier. Strikt talat är väl det mer differentiell topology/geometri och algebraisk geometri, men ideer från algebra förekommer rikligt också. Det är lite skrämmande hur mycket matematik man "borde kunna" om man pysslar med teoretisk fysik. Tensorprodukten är ju förövrigt också ett centralt begrepp inom kvantmekanik.

Jag kan inte uttala mig om ämnet, men varför valde du boken av Grillet? Den har bara 3 stjärnor på Amazon, och sen är det ju en "graduate text", vilket kan betyda att innehållet ställer krav på viss matematisk mognad (jag säger inte att du inte har det) och förkunskapskrav. I beskrivningen står det:
http://www.amazon.com/Abstract-Algeb.../dp/0387715673

Boken av Pinter har 5 stjärnor på Amazon, kostar 127 kr hos Adlibris, och beskrivningen lyder:
http://www.amazon.com/Book-Abstract-...8563099&sr=1-1
http://www.amazon.com/Abstract-Algeb.../dp/0387715673

Jag har läst de första 3-4 kapitlena i denna (de är korta, men många), och den verkar riktigt bra. Många övningsuppgifter också.

3^6=729 borde det bli?!

Försöker du vara rolig eller är jag bara trött?

http://sv.wikipedia.org/wiki/Fakultet_%28matematik%29

3^6 är inte heller rätt eftersom samma målning av en kub kan roteras till olika positioner. En kub med en grön sida och fem röda sidor är samma oavsett vilken sida det är som är grön eftersom man alltid kan rotera kuben så att den gröna sidan hamnar på samma ställe.

Det är här algebran kommer in. Antalet sätt att rotera en kub bildar en grupp. Om man låter den gruppen verka på mängden av målningar där man bortser från rotationer och räknar antalet banor i den gruppverkan så får man rätt svar (dvs 57).

Tack för alla svar, men kan vi sluta diskutera kuben nu? Annars var det ett bra exempel
VandalSavage, jag ska titta på boken av Pinter!

Har ni fler exempel på problem som man stöter på utanför den abstrakta algebran som har lösts genom att problemet abstraherats?