Bevisa bryningslagen!

Hej!
Har fick fick för att jag ville försöka bevisa brytningslagen lite matematiskt, utan hjälp.
Bara för att testa mig själv. Men det går inte alls bra

Nu undrar jag om någon kan lägga fram ett bevis för brytningslagen, alltså inte göra praktiska lösningar utan enbart teoretisk.
Jag tror det är på frekvenser och våglängder som jag klantar mig..

Låt oss bara ta som exempel en ljustråle som går från luft till Vatten.

Här är lite av mina anteckningar..

n1 sin(v1) = n2 sin(v2) -- Vad vi ska bevisa!!

Då får vi räkna ut ljusets hastighet i lufen,
2,99792 * 10^8 -- Ljuset i vakuum

n = c/c2 -- Alltså, brytningsindex är lika med ljusets hastighet i vakuum delat på ljuset hastighet i luft.
Då får vi ta c/n så får vi fram hastigheten i luft

2,99792(10^8) / 1,00003 = 299783006,5 m/s

Jag fick en lite vision i går natt när jag satt och funderade över detta, helt flummigt, men det var bara en tanke som slog mig.. Säkert helt fel men jag tänkte att om jag först målar upp våglängderna genom luften och sedan ner i vattnet och sedan målar upp normalen för brytningspunkten och sedan målar upp en rätvinklig triangel med basen vinkelrät mot normalen, alltså ytan på vattnet. Tror det var något jag ville mäta med hjälp av detta, haha.. vet inte vad jag tänkte för jag var så trött

Kan inte någon fortsätta och måla upp en liten förklaring som bevisar påståendet att n1 sin(v1) = n2 sin(v2)

Jag kan ju liksom räkna ut vinklarna, hur mycket vinkeln minskar när ljuset går genom luften och in i vattnet men jag vet inte hur jag ska bevisa detta..

Snälla hjälp mig innan jag blir galen!
Tack på förhand..

Jag förstår ju såklart att man inte kan göra något universellt bevis utan bara ett litet "exempel" på ett bevis..

Du kanske tänkte använda Fermats princip om minsta tid?

Eller du kan använda Huygens konstruktion.

(Bevis är det inte, men man kan härleda Snells lag ur mer allmänna principer.)

Japp, jag har funderat på det där med snabbast hastighet. Det inngebär ju att ljuset vill gå så kort som möjligt i vattnet. men samtidigt kan det inte ta den kortaste vägen genom vattnet.

Det ska jag kunna räkna ut om jag får sätta mig ner någon gång, kanske i morgon på dagen.

Förklara gärna vad "Huygens konstruktion" innebär!

På http://physics.tamuk.edu/~suson/html/1402/optics.html står det något, men för en bra ritning måste man dra cirklar kring varje punkt på vågfronten för att konstruera en ny vågfront.

Jag hittar inte en sådan ritning på nätet nu, men det brukar finnas i böcker om optik.

Det 'vanliga' sättet att bevisa brytningslagen är mha av Maxwells ekvationer.
Brytningslagen faller då ut som en konsekvens av gränsvillkor vid ytor.

Som nämndes ovan kan du också använda Fermats prinmcip om minsta tid.
Här är en enkel illustration: Antag att du vet att ljuset kommer från en
given punkt O i medium 1, träffar gränsytan in punkten P och träffar en punkt
Q i medium 2. Horisontella avståndet mellan O och P är a1, och horisontella
avståndet mellan P och Q är a2. Om man nu låter a2 vara konstant så är
dert genom variation av a1, som man finner minsta tiden.


O
|
|
|
|
| a1
----------P--
|
|
|
|
| a2
|--------------Q

Lite andra storheter vi inför: strålens längd i medium 1: l1, strålens längd i
medium 2: l2, infallsvinkel: alfa1, brytningsvinkel: alfa2, vertikalt avstånd
mellan P och gränsyta: d1, vertikalt avstånd mellan gränsyta och Q: d2.
Ljushastigheterna i medierna är v1 och v2.

Vi kan nu skriva

l1 = sqrt(a1^2+d1^2)
l2 = sqrt((a2-a1)^2+d2^2)

och totala tiden för strålens färd är

t = l1/v1 + l2/v2.

Finn nu minsta tiden genom att derivera t med avseende på a1 - vilket
kommer bestämma de okända vinklarna.

dt/da1 = a1/v1 * (a1^2+d1^2)^(-1/2) + (a1-a2)/v2 * ((a2-a1)^2+d2^2)^(-1/2) = 1/v1*a1/l1 - 1/v2*(a2-a1)/l2 = sin(alfa1)/v1 - sin(alfa2)/v2.

Sätter du derivatan = 0 fås alltså

sin(alfa1)/v1 = sin(alfa2)/v2

och eftersom n = c/v kan detta skrivas

n1*sin(alfa1) = n2*sin(alfa2)

vilket är brytningslagen.

Tack så otroligt mycket för att du tog dig tid!
Ska försöka förstå det där imorgon när jag är lite klarare i huvudet!

Tack återigen!