Bestäm värdemängden för funktionen y = sin(x-30°)*cos(x+120°).

Bestäm värdemängden för funktionen y = sin(x-30°)*cos(x+120°).

y=(sin x*(√(3)/2)-cos x*1/2)*(cos x*-1/2-sin x *√3/2)
y=- sinx*cos x(3/4)-(sin x(3/4))^2+cos x(1/4)^2+sinx*cos x(3/4)
y=(cos x(1/4))^2-(sin x(3/4))^2

Jag har försökt att lösa uppgiften ett flertal gånger, dock med ett felaktigt svar. Har jag gjort något misstag i början? Har ska man fortsätta lösningen? Tack!

hmmm...men värdemängden för cos(x) och sin(x) är ju alla reella tal

Vf=x;(x tillhör mängden R)

Omskrivningar, omskrivningar, omskrivningar...
y = sin(x-30°) cos(x+120°) = { u = x+120° } = sin(u-150°) cos(u)
= (sin(u) cos(-150°) + cos(u) sin(-150°)) cos(u)
= sin(u) cos(u) cos(150°) - cos(u)^2 sin(150°)
= (1/2) sin(2u) cos(150°) - (1/2) (1 + cos(2u)) sin(150°)
= (1/2) (sin(2u) cos(150°) - cos(2u) sin(150°)) - (1/2) sin(150°)
= (1/2) sin(2u-150°) - (1/2) sin(150°)
= (1/2) sin(2u-150°) - (1/2) * (1/2)

sin(2u-150°) har värdemängd [0, 1].
(1/2) sin(2u-150°) har värdemängd [0, 1/2].
(1/2) sin(2u-150°) - (1/2) * (1/2) har värdemängd [-1/4, 1/4].

Tack för hjälpen! I facit står det dock att värdemängden är -3/4≤y≤1/4. Hur hänger det ihop med ditt svar?

Läser du vid något högre läroverk (eller har planer att påbörja en sådan utbildning) är det i min mening nödvändigt att lära sig en hel del trigonometriska omskrivningar utantill. Du kommer knappast ångra detta då detta återkommer genom hela din utbildning. Dock antar jag att du läser någon form av gymnasial utbildning med anledning av användandet av grader istället för radianer.

Ok, tack för tipset! Ja, jag studerar på gymnasiet, detta är dock en svår fråga i matte D kursen.

En alternativ metod kan vara att använda derivering. Och det kan vi göra eftersom att värdemängden är ju intervallet av y. Alltså alla tal mellan största och minsta värdet. Och så fort vi talar om största eller minsta värde så är derivering intressant.

y = sin(x-30°)*cos(x+120°) ⇔
y = sin(x-π/6)cos(x+2π/3) ⇔
y = sin(x-π/6)(-sin(x+π/6)) ⇔
y = -sin(x-π/6)sin(x+π/6)

Eftersom cos(v) = -sin(v-π/2) och att 2π/3-π/2 = π/6
Härifrån hade jag deriverat och satt ekvationen lika med noll. Värdemängden övre gräns måste ju vara lika med funktionens maxvärde och värdemängdens undre gräns dess minimivärde. Därav bör derivering fungera mkt bra.

y' = -cos(x-π/6)sin(x+π/6)-cos(x+π/6)sin(x-π/6) ⇔
y' = -(cos(x-π/6)sin(x+π/6)+cos(x+π/6)sin(x-π/6)) ⇔

Efter utbrytning av -1. Om vi nu är duktiga så känner vi igen additionssatsen för sinus.

y' = -sin((x-π/6)+(x-π/6)) ⇔
y' = -sin(x+x) ⇔
y' = -sin(2x)

Denna funktion sätter vi lika med noll och löser.

Snabb lösning:

-sin(2x) = 0 ⇔
x = πn/2

För olika n kommer vi att få max- eller minimivärde.

Om n = 1

-sin(π/2-π/6)sin(πn/2+π/6) = -3/4

Om n = 0

-sin(-π/6)sin(π/6) =
sin(π/6)sin(π/6)
sin²(π/6) =
(1/2)² =
1/4

Svar: Värdemängden är [-3/4, 1/4]

Vilken blunder jag har gjort... Så här skall det ju vara:
sin(2u-150°) har värdemängd [-1, 1].
(1/2) sin(2u-150°) har värdemängd [-1/2, 1/2].
(1/2) sin(2u-150°) - (1/2) * (1/2) har värdemängd [-3/4, 1/4].

Tack för hjälpen!