Gränsvärdeuppgift - Högskola första året

Hej alla,

Nu under tentaplugget försöker jag fräscha upp mina kunskaper angående gränsvärden med denna uppgift:

lim x->0

(1 - 2x + sin(2x) - cos(x)) / (ln(1 + x) - x).

Det jag tänker på direkt är ju standardgränsvärden, då vi har ln(1 + x) med och sin(2x). Mitt första försök var att dela upp ekvationen i många små bitar och få fram standardgränsvärden, men det blev bara en massa "delat med noll" överallt i alla fall. Sedan funderade jag på variabelbyte och bryta ut någon faktor, men kom inte på något bra. Jag har kollat igenom mina läroböcker och googlat men inte fått fram något bra exempel eller tips, så jag tänkte göra en tråd här i hopp om att få hjälp. Har inte arbetat med dessa typer av uppgifter på ett tag så det kanske är någon regel/formel jag glömt bort?

Tack i förhand

Får du använda l'Hospitals regel?

sin(2x) = 2x - (2x)^3/3! + ... då x -> 0
cos(x) = 1 - x^2/2! + ... då x -> 0
ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 + ... då x -> 0

ger:

(1 - 2x + (2x - (2x)^3/3!) + ...) - (1 - x^2/2! + ...))/((x - x^2/2 + x^3/3) - x)

= ((1 - 1) + (-2x+2x) + (x^2/2!) - (2x)^3/3!)/((x - x) + (-x^2/2) + (x^3/3))
= (0 + 0 + x^2/2 - 8x^3/6)/(0 - x^2/2 + x^3/3)
= (x^2/2 - 8x^3/6)(-x^2/2 + x^3/3)

Dela med x^2 i bägge led ger:

= (1/2 - 8x/6)/(-1/2 + x/3)

Dvs när x -> 0 så blir det:

= (1/2)/(-1/2) = -1.

Aha! MacLaurenutvecklingar! Det hade jag glömt bort att man kunde använda sig av. Tack så mycket!