Hur strukturerar/resonerar ni när ni löser problem?

Bakgrunden till nedanstående frågeställningar är att jag själv ständigt letar nya sätt att försöka resonera mig fram när jag löser ett problem. Jag försöker hitta bra sätt att notera och dra slutsatser i från "logiska sanningar" (t ex: x > 0 ⇒ y ∈ ℕ). Jag har kollat mycket på google efter hur folk går tillväga men det är svårt att hitta hur själva resonemanget går när folk löser problem, det man hittar är snarare hur slutresultatet blir, dvs själva slutsatsen eller lösningen de har kommit fram till. Det jag är nyfiken på är hur ni tar er dit, hur ni generellt löser svåra problem.

Låt säga att ni på något vis, relativt till er individuella kunskapsnivå, står inför en klurig, svår och ganska omfattande uppgift. Det kan vara allt i från den svåraste uppgiften ni hittar i en matte-/fysikbok till ett "verkligt" problem där ni försöker hitta något (kanske oupptäckt?) samband i verkliga livet, huvudsaken är att ni inte riktigt vet hur ni ska tackla den. Ni har vissa fakta, ni vet inte riktigt vad som fattas och således vet ni inte heller exakt vad det är ni letar efter för att kunna dra en slutsats.

“Half of science is putting forth the right questions.” - Sir Francis Bacon

Detta citatet är ungefär vad min frågeställning bygger på. Det jag undrar är hur ni gör när ni analyserar ett problem för hitta de rätta frågorna att ställa? Har ni något systematiskt sätt att strukturera era anteckningar (matematiska, logiska osv) som hjälper er att på enkelt vis härleda nya fakta ut i från de grundfakta ni har? Skriver ni ner redan välkända formler och samband brevid de fakta ni har, trots att ni kanske redan har alla formler memorerade? Ritar ni grafer, geometriska figurer, tabeller, diagram (venn-diagram osv)? Analyserar ni eventuella enheter era värden har? Försöker ni härleda aktuella enheter i från varandra för att kanske hitta nått användbart på vägen? Hur mycket noterar ni och hur mycket skriver ni ner på papper?

Vilka "standardtekniker" eller "trix" har ni i eran verktygslåda när ni försöker göra en tolkning av ett matematiskt problem? Hur noterar ni ert resonemang på papper?

För att komma med ett exempel har jag saxat första bästa uppgift från "Skolornas matematiktävling", (mattetävlingar för gymnasiet).


Har själv ingen aning om hur jag skulle lösa detta men jag skulle börja med att skriva ner några slutsatser för att åtminstonne bilda en lite bättre bild av problemet, typ lite så här skulle jag nog börja med att skriva ner nått i stil med detta:

y = f(x) där y ∈ ℕ och x ∈ ℕ ⇔ xy ≥ 0 ⇔ xy + 2 ≥ 2 ⇔ x+y ≥ 0 ⇔ x + y + 2 ≥ 2

Utifrån detta skulle jag sen försöka dra ännu fler slutsatser och kanske skissa några möjliga grafer i hopp om att få lite klarhet i problemet. Sen är jag kanske helt ute o cyklar med både notation och resonemang för just detta problemet men notera att jag inte alls är intresserad av att lösa just detta problem, utan snarare försöker visa lite hur jag menar.

Min personliga åsikt (och erfarenhet) vad gäller matematik och fysik är att själva resonemanget ger mer än vad själva räknandet gör, men tyvärr känns det som att man på t ex gymnasienivå snarare främjer formelmemorisering än just logiskt tänkande. Så jag skulle jag gärna se att ni delar med er av hur ni själva resonerar när ni ska lösa ett problem. Ni behöver inte utgå i från något specifikt exempel, eller just det jag använde, men det är mer än välkommet om ni kommer med egna exempel. Kanske har ni något exempel ni själva kliade er i huvet ett tag med, innan ni lyckades komma fram till hur ni skulle göra, eller bara har några generella strategier att dela med er av när ni resonerar och strukturerar problem som ska lösas.

Sjukt svårt att ens försöka besvara. Men ja, ställa de rätta frågorna.

Kan ta ett trivialt exempel på linjära ekvationer för en högstadieelev.

"Vad är en ekvation?" De flesta elever på högstadiet vet inte om detta, alltså vet de inte vad och hur de skall göra när de stöter på en ekvation. Dock har många en känsla för vad det är, vilket är helt okey men inte tillräckligt bra.

Hur som helst, om vi har ett (algebraiskt) uttryck lika med ett annat eller samma algebraiska uttryck, ja då har vi en ekvation.

"Vad är målet med en ekvation?"
Att lösa ut x, eller med andra ord, att skriva x ensamt på ena sidan om likhetstecknet.
"Vad är det som gör att x nu inte är ensamt?"
Då får man som matematiker själv hitta på ett sätt att göra x mer ensamt än vad det var innan. Man väljer operation, alltså ett av de två räknesätten eller dess inverser och utför sedan denna operation. När man är färdig med detta så skall man förenkla ekvationen så långt det går och ställa sig samma fråga igen tills dess att x är ensamt. Då har man nått sitt mål och har inga fler frågor att ställa.

Det kan också vara bra att omformulera problemuppgiften på så många sätt som möjligt.

En ekvation kan ställa frågan: "För vilket eller vilka x är likheten ovan sann?". Svaret på frågan är lösningen på uppgiften.

I princip identiska metoder tillämpar jag på alla uppgifter jag löser i någon mån.