MATTEUPPGIFTER i envariabelsanalys HJÄÄÄLP!

Hej!

Jag läser envariabelsanalys på högskolan och är i behov av stor hjälp med några matteuppgifter!

1. En vattenbehållare har formen av en upp och nedvänd cirkulär kon. Behållarens höjd är 8m och toppradie 3m. Vattnet läcker ut ur behållaren med en hastighet som är proportional mot höjden av vattnet i behållaren. Vattnet läcker ut med hastigheten 1/16 m^3/min, då var vattnets höjd 5m. Hur snabbt minskar vattennivån då?

2. Ur ett klot med radien R vill man skära ut en cirkulär cylinder, hur ska detta göras om cylinderns mantelarea ska vara så stor som möjligt?

3. Bestäm samtliga primitiva funktioner till:
X^2+1/(x+1)^2(x-1) dx

TACKSAM FÖR HJÄLP!!!

formeln för en halvcirkel är y=sqrt(R-x^2), detta är höjden i ett halvklot där x är radien.
Volymen i en cylinder är pi*h*r^2,

här är h=2*y, eftersom vi har ett halvklot ovanför x-axeln och ett under.
radien är alltså x

Volymen kan då betecknas
V=pi*x^2*2*sqrt(R^2-x^2)
Sedan är det bara att derivera den och sätta till 0
Produktregeln och kedjeregeln ger
V'(x)=2pi*(2x*sqrt(R^2-x^2) - x^2*(2x)/(2sqrt(R^2-x^2))

V'(0) <->
2pi*(2x*sqrt(R^2-x^2) - x^2*(2x)/(2sqrt(R^2-x^2)) = 0 <->
-6x^3+4xR^2 = 0 <->
x=sqrt(2/3)*R

Om du sedan sätter in lösningen i formeln för cylinderns volym får du efter lite algebra att
V = 4pi/3 * 1/sqrt(3) * R^3, alltså en faktor sqrt(3) mindre än volymen i ett klot

Vet inte om du menar

x^2+1/(x+1)^2(x-1) dx
eller
x^2+1/((x+1)^2(x-1)) dx

men bägge två kan du se hur man löser steg för steg på tex wolframalpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2%2B1%2F%28x%2B1%29^2%28x-1%29+dx
eller
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2%2B1%2F%28%28x%2B1%29^2%28x-1%29%29+dx

Tryck på show steps så ser du beräkningsgången

Vi vill alltså veta dh/dt. Vi vet dV/dt. Implicit derivering.

dh/dt = dV/dt*dh/dV, så vi ska alltså få ett uttryck för dh/dV.

Vi kan beteckna volymen V som r^2*h*pi/3. Vi kan också räkna ut r som funktion av h.
Eftersom det är en kon där kanten är rak är r=h*3/8
då får vi ett nytt uttryck för volymen

V=h^3*pi*3/64
derivera
dV/dh = 9*h^2*pi/64

då är dh/dV = 64/(9*h^2*pi)

med h=5, dh/dV = 64/(225*pi)

dh/dt = 1/16*64/(255*pi) = 4/(225*pi)

tror det är så iaf, kan ha räknat fel nånstans

TACK SÅ JÄTTEMYCKET!!!

Tusen och åter tusen tack!

Har tre till som är lite kluriga som jag inte kommer någon vart på xD

1. sqrt (x-1)/ x dx Bestäm samtliga primitiva funktioner.

2. Bestäm volymen av rotationskroppen som genereras då området mellan kurvorna y=x och y=x^2 roterar kring y-axeln.

3.Beräkna följande gränsvärde med hjälp av maclaurin och Taylors utveckling. Ange svaret exakt.
lim x-->0 cosx-e^(-x^2/2)/x^4

Vore oerhört tacksam om du hade lust att hjälpa mig här med!
Tack igen!

1.
Att hitta den primitiva funktionen till funktioner som
f(x)=sqrt(x-1)/x
kan vara klurigt, man vet inte riktigt hur man ska börja. Att hitta någon smart variabelsubstitution är något man lär sig efter att räkna, räkna och räkna ännu mer. I det här fallet är substitutionen

u=sqrt(x-1) en bra substitution.
då är
du/dx = 1/(2*sqrt(x-1)) -> du = 1/(2*sqrt(x-1))*dx
sen är
u^2=x-1 -> x=u^2+1
då kan man skriva integralen som
∫sqrt(x-1)/x dx = ∫2u^2/(u^2+1) du.

sen är det lite polynomdivision, antingen hela vägen eller med handpåläggning

∫2(1-1/(u^2+1)) du

sen om man kan sina standardintegraler vet man att ∫1/(u^2+1) = atan(u), finns i tabeller annars.
då blir det

2*u - 2*atan(u), sen går man tillbaka från u till x och får lösningen till

F(x) = 2*sqrt(x-1) - 2*atan(sqrt(x-1))



Edit: Återkommer imorgon med uppgift 2 om inte någon annat hunnit svara, nu ska jag se Super Bowl

okej, områdets övre gräns ges av linjen y=x och områdets undre gräns är y=x^2.
Integrationsintervallet är mellan punkterna (0,0) och (1,1), alltså då de två kurvorna skär varandra.

Då kan vi skriva området som ska rotera som en integral

∫x-x^2 dx från 0 till 1

Volymen av ett område som roterar kring y-axeln är

V=2*pi*∫x*f(x) dx, där f(x) alltså är området som roterar, i vårt fall är

V=2*pi*∫x*(x-x^2) dx från 0 till 1

=2*pi*∫x^2-x^3 dx

=2*pi*[x^3/3-x^4/4] från 0 till 1

=2*pi*(1/3-1/4)

=2*pi*1/12

=pi/6

ååh!

Du är verkligen heeelt fantastisk!
Vet inte huur jag ska tacka dig!

Så pedagogisk med, hänger verkligen med hur du menar!

Hoppas du hade en jättebra söndagskväll!

Härligt att höra

Tyvärr går jag nog bet på din sista uppgift med Taylor/MacLaurin-utveckling. men 5 av 6 är ju inte så illa..

Ja söndagskvällen/natten blev kanon, NY Giants vann ju NFL!!

Du kommer också klara den här typen av uppgifter, bara du räknar, räknar och räknar ännu mer - det finns ingen genväg. Det är också bra om du lär dig att använda formelsamlingen.

Hej igen! var ett tag sen nu:P haha!

Jag kollade igenom denna uträkningen åsådär, men man får ju fram volymen på detta och det är mantelarean man ska ha!

Hur gör man då? :S

Stort tack för all hjälp!