Gränsvärdesproblem med Taylorutveckling

Hej. Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift. Jag ska beräkna gränsvärdet

lim(x -> 0)
( (1+ln(1+x) -cosx -sinx) / ( ((e^x) -1) * (arctan(x^2)) ) )

Jag vet alla Taylorutvecklingar som behövs, men har inte full koll på Ordo-konceptet. Hur vet jag vilken faktor jag ska stanna vid, och kan dessa vara helt olika för de olika funktionerna (t.ex. ta e^x till O(x^5) och arctanx^2 till O(x^2) )?
Som jag förstått så gör det ingen skada att addera fler termer än vad som kanske är nödvändigt, men att ta för få kan ge fel. Hur vet jag vad som är tillräckligt? Kan jag "se" det i uppgiften?

Svar på frågorna och/eller lösning mottages varmt.

Bara att pröva, tills du kan förkorta bort. Förmodligen kommer det vara det som står framför x² termerna som blir ditt gränsvärde.

du kan ju prova utveckla polynomen till grad större än 2, eftersom arctan(x^2) = x^2 - x^6/3 + resterm, har större grad än de andra termerna.

Jag får fortfarande inte rätt på något, så jag misstänker att jag tänker fundamentalt fel.

Ett exempel på vad som förvirrar mig:
Ta uppgift 1 i denna tentan
I lösningen nämns det att uttrycken i både täljare och nämnare "domineras" av x^4 för x nära noll. Men (sinx)^2 och arctanx^2 utvecklas bara till x^2.

Så vad betyder det egentligen att täljare/nämnare domineras av x^4, hur ser jag det, och hur vet jag var jag ska sluta utveckla för respektive term?

Ett uttryck domineras av en term om termen växer mycket snabbare än övriga termer.

Vid gränsvärden då x → ∞ dominerar högre potenser över lägre, och e^x dominerar över det mesta, medan ln x växer ganska långsamt. Vid gränsvärden då x → 0 gäller snarare det omvända.

I uppgiften du länkade till är det enkelt att se dominerande termen i nämnaren:
(sin x)² arctan x² = (x + O(x²))² (x² + O(x^4)) = x^4 + O(x^5)

I täljaren är det jobbigare. Där behöver man utveckla till fler termer eftersom flera tar ut varandra:
e^x + e^(-x) + 2 cos x - 4 =
(1 + x + x²/2 + x³/6 + x^4/24 + O(x^5)) + (1 - x + x²/2 - x³/6 + x^4/24 + O(x^5))
+ 2 (1 - x²/2 + x^4/24 + O(x^6)) - 4
= x^4/6 + O(x^5)

Vi ser därför att
(e^x + e^(-x) + 2 cos x - 4) / ((sin x)² arctan x²) = (x^4/6 + O(x^5)) / (x^4 + O(x^5))
= (1/6 + O(x)) / (1 + O(x)) → (1/6) / 1 = 1/6
då x → 0.

Tack! Jag greppade aldrig att jag skulle stanna upp och faktiskt kolla vad som tog ut vad, istället för att bara dra till med något antal termer på måfå, räkna i en kvart -> bli arg på fel svar.

E̶n̶ ̶f̶r̶å̶g̶a̶:̶ ̶V̶i̶l̶l̶ ̶j̶a̶g̶ ̶h̶a̶ ̶a̶t̶t̶ ̶d̶e̶n̶ ̶d̶o̶m̶i̶n̶e̶r̶a̶n̶d̶e̶ ̶t̶e̶r̶m̶e̶n̶ ̶i̶ ̶t̶ä̶l̶j̶a̶r̶e̶n̶ ̶=̶ ̶d̶e̶n̶ ̶d̶o̶m̶i̶n̶e̶r̶a̶n̶d̶e̶ ̶t̶e̶r̶m̶e̶n̶ ̶i̶ ̶n̶ä̶m̶n̶a̶r̶e̶n̶,̶ ̶e̶l̶l̶e̶r̶ ̶m̶å̶s̶t̶e̶ ̶j̶a̶g̶ ̶h̶a̶ ̶d̶e̶t̶?̶

Det är inte säkert att de har samma grad, men då blir gränsvärdet antingen 0, +∞ eller -∞. Det är bara om de har samma grad som gränsvärdet blir något annat.