Wronksideterminanten och Abels identitet.

Hej,

Håller på att sätta mig in i wronskideterminanten och blir inte riktigt klok på mina böcker.

Bok 1 säger: om funktionerna f1, f2 är i C^1 på I=(-inf,inf) och om wronskideterminanten inte är identiskt 0 på I så bildar f1 och f2 en linjärt oberoende mängd i C^1(-inf,inf).

Bok 2 säger: f1 och f2 är två lösningar till y''+p(t)y'+q(t)y=0 på I=(-inf,inf). Om wronskideterminanten är 0 i någon punkt på I så är f1 och f2 linjärt beroende på I.

Skillnaden mellan dessa två är då att Bok 2 bara behandlar fallet med lösningar till differentialekvationer, så dessa är inte motsägelser?

Det som bok 2 säger kan jag köpa då W uppfyller W'+p(t)W=0. Om vi löser W'+p(t)W=0 får vi.
lnlWl=-int(p(t))
W=exp(-int(p(t)dt)

Abels identitet:
W=Cexp(-int(p(u)du) från t0 till t). Det inne i integralen köper jag, men koefficienten C, vart kommer den ifrån?

Sen är jag kanske inte heller riktigt på det klara om varför wronskideterminanten verkligen fungerar. Om f1 och f2 är linjärt beroende så är också f'1 och f'2 linjärt beroende eftersom derivering är en linjär operator och då kommer kolonnvektorerna i wronskimatrisen att vara linjärt beroende och då är determinanten 0? Kan wronskideterminanten användas för funktioner av flera variabler, för att reda på om ytor är linjärt oberoende(?).

Dock lösningen för W' + p(t)W = 0 ger

ln|W| = -int(p(t)) + C1 vilket ger

W = exp(-int(p(t)) + C1) = C*exp(-int(p(t)), så där har du C som du inte tyckte borde finnas där =)

Det finns också en mycket större skillnad, i att satserna i bok 1 och 2 går åt helt olika håll.

Låt villkoren benämnas

A: Wronskideterminanten är identiskt 0.
B: f1 och f2 är linjärt beroende.
C: Wronskideterminanten är 0 i någon punkt.
D: f1 och f2 löser en diffekvation på formen y'' + p(t)y' + q(t)y = 0.

Bok 1 säger att B implicerar A.

Bok 2 säger att C implicerar B, under förutsättning att D gäller.

Det är uppenbart att A implicerar C, så om vi kombinerar Bok 1 och Bok 2 så får vi att A, B och C är ekvivalenta, under förutsättning att D gäller.

Om D inte gäller är det inte ens sant att A implicerar B.


Ja, detta förklarar varför satsen i Bok 1 fungerar. Varför satsen i bok 2 fungerar är en annan historia.

Hade ju integrerat Tack


Allright, tusen tack, så D är ett rätt viktigt villkor alltså... Att Wronskideterminanten skulle vara antingen 0 eller inte 0 är ju ganska uppenbart från Abels identitet då ce^(-int(p)) antingen är 0 eller inte. men då måste väl motsatsen också vara ekvivalenta?

A1: Wronskideterminanten är aldrig 0.
B1: f1 och f2 är linjärt oberoende.
C1: Wronskideterminanten är inte 0 i någon punkt.

Under förutsättning att D gäller.

Att A generellt inte implicerar B tar bok 1 upp väldigt tydligt, men nämner inget mer om det.

Tusen tack igen!

Dessa är ekvivalenta under förutsättning att D gäller, men var försiktig när du tar negationen påståenden. Jag tycker A1 och C1 låter som exakt samma påstående, men det beror på hur man tolkar C1. Sen är inte A1 negationen till A, utan negationen till C.

Jag tänkte att om man kan visa att den är nollskild i minst en punkt är den nollskild i alla punkter.

Jag tänkte lite grand på vilka villkor som f1 och f2 måste uppfylla för att A ska implicera B. Att f1 och f2 är två lösningar till differentialekvationen y''+p(t)y'+q(t)y=0. Om p(t) är konstant så är ju f1 och f2 analytiska funktioner? exp, sin och cos. Jag har inte löst så många där p(t) är en godtycklig funktion, för att ha hittat en motsägelse. Det stämmer inte generellt att lösningarna f1 och f2 till y''+p(t)y'+q(t)y=0 är analytiska om dom existerar?

Med analytiska, menar du

http://en.wikipedia.org/wiki/Analytical_expression

eller

http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function

?