Matematik -- ljus genom glasskivor

För denna uppgiften, föreställ er att en glasskiva alltid reflekterar 10% av det ljus som faller in på den, oavsett vinkel och så vidare.

Problem 1: Hur mycket ljus tar sig igenom en enkel glasskiva? En tämligen trivial fråga, naturligtvis är svaret 90% av det infallande ljuset. Inga konstigheter där.

Problem 2: Nu finns det två glasskivor parallellt med varandra (tänk som i ett fönster med dubbelglas.) Hur mycket ljus tar sig igenom båda skivorna? Denna uppgift är ilte intressantare. Till en början kan man vara frestad att svara 0.9² av det infallande ljuset, men ganska snart inser man att det även finns en möjlighet för ljuset att reflekteras mellan glasen, och sedan över till andra sidan. Det innebär att ljuset som tar sig igenom är mer än 0.9². Om man funderar lite snabbt över det kan man snart ställa upp en summa och utröna att 9/11 av det infallande ljuset tar sig igenom.

Problem 3: Här blir det klurigt. Hur stor del av det infallande ljuset tar sig igenom tre parallella glasskivor? Jag har suttit hela dagen och försökt få någon rätsida på det hela. Jag lyckades komma väldigt nära, med ett par summor, men jag förbisåg en liten detalj som gjorde att jag inte nådde riktigt ända fram. Att ta hand om den detaljen innebär även att krascha hela uttrycket, som jag ser det, så jag är förmodligen inne på fel spår.

En numerisk lösning av problem 3 visar med all önskvärd tydlighet att 3/4 av det infallande ljuset tar sig igenom, men hur visar man det matematiskt?

(Naturligtvis var mitt mål att lösa problemet för n glasskivor, men det gick inte så bra när jag fastnade redan vid tre...)


EDIT: Jag sökte lite på internet efter liknande problem, och hittade en lösningsmetod med ekvationssystem. Det ser ruskigt elegant ut, så jag ska se om jag lyckas lösa det så. (Mina ekvationssystem är väldigt rostiga så det blir lite att ta igen...)

Alltså ingen absorption = 90% passerar + 10 reflekteras?

Deluppgift 2 låter som en geometrisk summa, finns formler för det
http://sv.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_summa

Deluppgift 3 låter som en geometrisk summa av en geometrisk summa (eller?)
http://sv.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_summa

Korrekt.


Yes, mycket riktigt, och det var med den metoden jag löste den.


Ja, det var min tanke också, men jag nådde aldrig riktigt ända fram med den. (Jag fick 0.742377. Med andra ord saknas det en liten bit. Om jag försöker lägga till den biten (med permutationer) så klarar jag inte att hantera uttrycket längre.)


Se även min redigering av TS!

Jaha, analytisk lösning på problemet. Jag ryser!

Och även om jag inte lyckades lösa ekvationssystemet bara så där, så gjorde jag ett gott försök att lösa det med Matlab, men svaret jag får där stämmer inte riktigt det heller. Jag tar fortfarande emot pekare gällande hur problemet ska lösas!


EDIT: Then again lyckades jag ställa upp problem 2 som ett ekvationssystem och lösa det korrekt, så kanske lyckades jag bara slarva nyss. Nu lyckades jag även lösa problem 3 med ett ekvationssystem i Matlab, så om ingen har någon smidigare lösning tackar jag för mig.