Definiera i som i = (-1)^0.5: kardinalfel?

Det känns som att det rimligaste sättet att införa komplexa tal är genom att definiera ett komplext tal som ett ordnat par av reella tal, och sedan via axiom införa räkneoperationer på dem. Slutligen definieras i som (0, 1), och r identifieras med (r, 0)

Det dumma med att definiera i=(-1)^0.5 är att det inte säger något om i:s övriga egenskaper. Ditto med i^2=-1. Finns ju inget utifrån det som förhindrar att i+i=i eller något annat hemskt.
Visserligen kan man ju förhindra införa sådant via axiom, men jag tycker det blir mycket bökigare än det behöver bli.


Jag skulle vilja slå ett slag för följande definition

a^x = per definition = e^(Log(a)x) = per definition = 1 + [Log (a) x] + ([Log (a) x]^2)/2 + ([Log (a) x]^3)/6...

Där Log är principalargumentet hos a. Med a<0 är Log a = ln (-a) + i*pi

Ditt exempel nu är ju inte ens komplext..

OnT
(-1)^(0,5) = i är väl ändå ganska uppenbar? Du vet att i^2 = -1, alltså står det att
(i^2)^(0,5) = i. Inga konstigheter.

(-1)^(0,5) = i är uppenbart när man definierat vad (-1)^(0,5) betyder bland de komplexa talen. Det är inte uppenbart som definition av de komplexa talen, för man har inte talat om vad i är och bland de reella talen är (-1)^0.5 inte meningsfullt.

Nu är likheten visserligen sann, men 1 är väl inte definierat som (-1)^2? Dessutom är det som sagt inte komplext längre.

Menar du möjligen:
?

Nej, han menar:

1 = (-1)^2 <=> 1^(1/2) = ((-1)^2)^(1/2)

Men 1^(1/2) = 1 och sqrt((-1)^2) = - 1, så 1 = -1.

Jag håller med om att det är matematiskt fel att definiera i = √(-1), även om det är populärt bland mattelärare. Däremot anser jag att det är onödigt att arbeta med ordnade par av reella tal och sedan definiera i = (0, 1). Det går bra att säga "Vi inför en symbol i med egenskapen i² = -1".

Jag har virrat till det rejält. Okej, så här definierar man komplexa tal "på riktigt".

Ett komplext tal är ett ordnat par (a,b) där a,b är reella (ordnad => (a,b) /= (b,a)).

Låt x=(a,b) och y=(c,d) vara två komplexa tal. Då gåller likheten x=y enbart då a=c och b=d.

Defeniera sedan x+y som (a+c,b+d) samt xy som (ac-ba,ad+bc).

Det denna addition och multiplikation blir mängden av komplexa tal en kropp (lätt att verifiera).

Det är även trivialt att visa att tal av formen (a,0) ligger i delkroppen R till C.

Sedan definierar vi i=(0,1)

Nu är det enkelt att visa att i^2=-1 ty
i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1

Men det blir ju krångligt att göra det här i gymnasiematematiken, för det kräver ju lite kunskap om algebraiska strukturer. Så det jag menade från början är att om man ska fuska så är är i^2=-1 en bra definition även om den rent tekniskt inte är helt tät. För man har ju faktiskt inte definierat vad man menar med ett komplext tal.

Ett annat sätt att definiera komplexa tal är som ℝ[X]/(X²+1) dvs som ekvivalensklasser av polynom med reella koefficienter, där ekvivalensrelationen är sådan att X²+1 räknas som 0. Detta ger att polynomen i praktiken får formen aX + b, där a och b är reella tal. Symbolen X uppfyller X²+1 = 0 och är alltså den imaginära enheten.