Är 2 närmare ∞ än 1?

Efter att filosoferat lite om universum och våra chanser att hitta andra planeter med liv på, så började jag tänka att vad mycket bättre det hade varit om ljuset hade varit i hastigheten typ 300,000,000,000 km/sek istället för 300,000 km/sek, då hade ju hastigheten nästan varit oändlig!

Men då slog tanken mig att även om ljusets hastighet hade varit 300^99999999999999999 km/sek, så kan man fortfarande lägga till 1,000, 7,000, eller 1,000,000^99999999999999999999999(...) nollor till i talet så kommer det fortfarande inte vara oändligt

Så min fråga lyder, är 2 närmare ∞ än vad 1 är?

Nej, alla ändliga tal är lika långt från oändligheten. Det är litegrann det som är grejen: Oändlighet är oändligt långt bort från såväl ett som trehundra miljarder.

Nej, 2 och 1 är lika långt från oändligheten men inom fysik kan vi ju titta på andra relevanta storheter - förslagsvis tid. Om hastigheten ökar med en faktor 10 så minskar tiden det tar för ljuset att färdas en viss sträcka med en faktor 10. Om det tidigare tog 10 sekunder så tar det alltså 1 sekund. I detta fall är 1 s definitivt närmare 0 än 10 s.

y = x + 1, då lim x-> ∞ => y = ∞
y = x + 2, då lim x-> ∞ => y = ∞

Om du sätter upp en tal-linje så kan man se att 2 är längre till höger och man skulle därför kunna tänka sig att det då är "närmare" oändligheten. Tyvärr är oändlighet inte en siffra som man kan jämföra med och svaret är alltså Nej

Nu går jag emot de övriga och svarar ja - 2 är närmare ∞ än 1 är.

Betrakta de reella talen.
Det är klart att om x, y, z är reella tal sådana att x < y < z så är x längre från z än y är.
Utöka nu de reella talen med två element betecknade +∞ respektive -∞.
Utöka även ordningsrelationen genom att sätta -∞ < x < +∞ för alla reella x.
Om x, y, z är utökade reella tal och x < y < z, låt oss säga "x är längre från z än y är". Om x, y, z är reella tal stämmer detta överens med vårt tidigare konstaterande.
Nu gäller 1 < 2 < +∞ så vi kan säga att "1 är längre från +∞ än 2 är".

Det kanske känns litet konstlat, men är lika relevant som vad föregående personer har skrivit. Skillnaden består i vad vi menar med "längre från". Är det avståndet eller är det placeringen?

Man kan inte svara på frågan utan att veta exakt vad du menar med "närmare".

Mängden heltal större eller lika med 1 har samma kardinalitet som mängden heltal större eller lika med 2, så i den meningen är talen lika nära oändligheten. Å andra sidan är ju den senare mängden en äkta delmängd av den förra, vilket man hade kunnat ha som definition av närmare.

När man arbetar med storlekar av oändliga mängder brukar man dock ha mest nytta av kardinalitetsdefinitionen.

Nej, betrakta det relativa felet:

Relativa felet = lim(x -> inf) abs(x - y)/abs(x)

alla änliga tal kommer att ge ett relativt fel på 1 enligt supremumaxiomet (som i princip säger att ett gränsvärde är talet det närmar sig även om det faktiskt aldrig riktigt når det).

Supremumaxiomet är just ett axiom men grundidén är att om du inte kan hitta ett tal som ligger mellan två tal så är talen desamma, och eftersom skillnaden blir oändligt liten är också talen desamma.

Kolla 0.999999... = 1 tråden så har du i princip samma frågeställning, även om många där är folk som låter mycket och tycker att matematiken ska följa deras egna känslor istället för det logiska systemet det är uppbyggt av =)

Fast det blir ju lurigt när du utökar de reella talen med ∞ som inte är ett reellt tal.

Visst, men om man skall prata om ∞ har man redan infört ett nytt element. Och på något sätt måste man definiera detta; annars kan man inte tala om avstånd eller placering.

Fast med samma resonemang kan man väl då introducera färgen blå som ett element och definiera det som -x < blå < x för alla x så har vi att talet två ligger lite närmare blått en ett.