Lite om att visualisera n-D i 2D/3D - applikationer?

--tar 4D som exempel, men kan tänka mig att detta gäller generellt--

Nu har det här förmodligen redan blivit löst. Jag såg något TV-program om det för herrans många år sedan. Men där var det någon matematiker som kommit på hur man visualiserar 4D i 3D.

Hinner inte läsa den personens avhandling (en "autistisk" Ryss - när man hör om honom så verkar han iaf lite schizo eller autistisk av sig). Men det bör väl vara ganska simpelt. Det som syns från en punkt (a,b,c,d) --med hänsyn tagen till vektorns riktning-- i en 4D-värld är ju ganska givet; samma generella principer av vad man ser som för en 3D-värld gäller. Det är alltså den generella idén jag kan tänka mig fungera, och jag tänker mig att det borde räcka.

Ett senare problem är väl hur mycket av all denna information som man har (4D-bilden) som ska plottas i en 3D eller --> 2D-skärm. Det beror ju på ens positions (4D-vektor) riktning. Lite "geometri" bestämmer hur den bilden ska se ut. Nu hinner jag inte fundera på några detaljer, men låt oss säga att vi har en schysst sådan "lins", likt geometrin för "3D-matriser" (3D-bilder) i en vanligt dator -3D-motor --> 2D-bilder.

Är det ungefär så som visualisering av 4D går till?

Hur som helst. När man rör sig genom en 3D-värld men bara fokuserar på innehållet i varje skiva som man befinner sig i: dvs får en 2D-bild, så ser vi naturligt i vår värld en ganska så gällande kontinuitet. I en sandöknen så kan vi längst marken följa en kontinuerlig kurva --kontinuerlig: inga hackiga avbrott/hopp i kurvan, jämna tag--. Tittar vi skiva för skiva så ser vi en "jämn" ökning/minskning för varje skiva. Om vi skulle passera en stad, och titta skiva för skiva så skulle skulle vi inte uppleva samma kontinuitet. Om vi t ex passerade en 3D-kub någonstans och riktade skivan vi tittar igenom så att den från ett "tomt läge", med bara luft, i ett steg befinner sig i det allra yttersta lagret av en av de 6 väggarna av på stor kubs, så skulle vi inte uppleva någon kontinuitet i vår "färd". Eftersom att vi kan "se alla skivor i 3D-världen på en gång" så skapar vi objekt och olika meningar i dessa kurvor och diskontinuiteter. Hur som helst så menar jag att detsamma gäller ett 3D-öga som färdas i en 4D-värld. Att peta all information tillgänglig för ett 4D-öga till en 3D-form ger således en lustig bild, men fullt möjligt. Precis som vi kan peta in all visuell tillgänglig information --skippa stereoseendet-- från 3D till 2D. I en 2D-bild av en 3D-bild får vi viss kontinuitet tack vare "kontinuiteten" i 3D-världen. Vi ser hur som helst i allra högsta grad i 2D men skapar oss, och kan tänka i, en 3D-uppfattning. Vi har däremot inte samma intuition för 4D, och det kan då se rörigt ut när man visualiserar 4D i 3D, men visualisera 3D i 2D (utan stereoseende) fungerar fint. Ögonen ser 2D, men att direkt "mäta" 3D i världen på annat sätt är svårt --tänk att vi skulle ha röntgenögon--, därför är våra ögon 2D vardera, då det är både praktiskt och det närmsta evolutionen hittat. Det är bra att vara medveten om detta bara.

Hur som helst. Finns det några fina applikationer i en 4D-struktur som man via ett 3D-öga rör sig omkring i? 3D kan som sagt representeras gott i 2D då 2D ändå är den enda information vi får ifrån vår 3D-värld. Att visualisera 4D i huvudet med hjälp av stereo-3D (dvs två eller fler 3D-bilder som sätts ihop till ett) har vi ju "tyvärr" inte utvecklat. Har inte testat att bygga upp en 4D-värld och en 3D-kamera att traska runt i det med. Men kan tänka mig att det hela blir rätt meningslöst. Istället för att vi ser hela figurer i 4D så ser vi 3D figurer som ändrar form istället - kontinuiteten (eller "hacken") som jag skrev om.

Finns det några roliga applikationer av ovan fet markerat? Dvs röra sig runt i en 4D-värld med ett 3D-öga? Precis som i ett 2D-öga tar all information som finns tillgängligt för ögat så gäller detsamma för 3D-ögat, som vi packar ihop till en fin 2D-bild; därför bör vi få en väldigt jämn "objekt-urskiljning" av samma grad som i storstäder --i storstäder är allt inte sanddynor, men vi kan urskilja objekt--.

Annars är det ju bara matematiskt --och datorvetenskapligt-- meningsfullt. Men ur ett perceptionsperspektiv?

Lite OT. Har frågat förut. Men oftast så får jag inga svar i sådana här trådar. Beror det på att jag inte lyckas locka läsaren, eller bör jag vara tydligare i min text - vara bättre på att få fram budskapet dvs? Är den oläslig eller alldeles för spaghettitrasslig för en bekväm läsning dvs? Eller är det helt enkelt en flummig och meningslös text? För mycket ovidkommande text? För lång? Ska jag fatta mig kortare eller utveckla det jag menar lite längre? Saknas intresse? Är det mina små bröst eller finnen på näsan ?

Kombination av att det spagettitext där det mesta är ovidkommande, och att man inser att frågorna är såpass ospecificerade när man skrapat bort fasaden att det blir svårt att svara.

Mycket av det som sägs i spagettitexten tyder på fundamentala missuppfattningar, men är såpass luddigt formulerat att det är svårt att argumentera emot. Detta leder också till att frågorna blir svåra att besvara, när felaktig bakgrund gör att frågorna saknar relevans för verkligheten.

Här kan man gå vidare
http://www.dimensions-math.org/Dim_E.htm

Skulle du vilja ge något exempel på något av detta?

T.ex. pratar du väldigt mycket om "kontinuitet" i öppningsinlägget här. Du har rätt i att saker som har skarpa kanter kan te sig diskontinuerliga när man tar lägre-dimensionella skivor och låter skivan förflyttar sig. Detta (dvs huruvida saker ändrar form glatt eller hackigt) har dock vad jag kan se ingenting med frågeställningen att göra.

Ett tips när man är ute efter att lära sig någonting är kanske att inte lägga in alltför många egna tolkningar. Vetenskapliga tolkningar - om de inte har en god vetenskaplig grund - är ofta ganska oväsentliga både för frågeställningen och för andra.

A Mathematician (M) and an Engineer (E) attend a lecture by a Physicist. The topic concerns Kulza-Klein theories involving physical processes that occur in spaces with dimensions of 9, 12 and even higher. The M is sitting, clearly enjoying the lecture, while the E is frowning and looking generally confused and puzzled. By the end the E has a terrible headache. At the end, the M comments about the wonderful lecture.
E: "How do you understand this stuff?"
M: "I just visualize the process"
E: "How can you POSSIBLY visualize something that occurs in 9-dimensional space?"
M: "Easy, first visualize it in N-dimensional space, then let N go to 9"

Min struktur i texten är inget att skryta med. Det jag menade var att liknande gäller för åskådning av 4-dimensionella objekt i en 3D-värld. En tanke är att ur ett 3D-perspektiv bara kan se en bit av ett 4D-objekt samtidigt som det rör sig igenom en 3D-kub (jämför 3D-objekt genom 2D-plan). Liksom ett 3D-objekt genom ett 2D-plan kan te sig antigen "knackig" eller "kontinuerlig/mjuk/övergående" för den i 2D-världen så gäller samma sak för 4D-objekt som rör sig igenom den 3D-kubb som vi kan observera.

Men min poäng var att det inte nödvändigtvis behöver vara så illa att vi bara kan observera 4D-objekt genom en "skiva" som genom sin resa i en 4D-värld visar "knackiga" meningslösa fragment. Man kanske kan se mycket mer på en gång. Hela objekt. Här kommer det underbara och häftiga:

Hurdå? Hur kan vi se hela 4D-objekt, och en hel 4D-värld på en gång? // pun intended
Via projektion (om jag använder fel ord nu så kommer ändå budskapet fram i följande text). En lins. En lins skapar som bekant en färgbild av dess omvärld på en "yta" av lägre dimension. En 3D-lins skapar en 2D-bild av omvärlden. Våra ögon skapar 2st 2D-bilder av vår 3D-omvärld, och smälter ihop de individuella bilderna till en 3D-värld (stereoseende).

Här började jag i trådstarten skriva en massa om perception (psykologi), men vi skippar det nu och pratar något som ska föreställa ren svenska istället. En 3D-lins skapar en 2D-bild av dess omvärld. Med precis samma principer så kan vi skapa en 3D-bild av en 4D-värld. En sådan lins gör man med vanlig hederlig matte, fast med matriser av dimension 4 istället för 3. De matematiska beräkningarna ser precis lika dana ut. Man kan få ut en 3D-färgskugga av en 4D-värld på samma principer som man får ut en 2D-färgskugga(bild) av en 3D-värld.

Jag funderade på (reflekterade i texten) om vad för mening man skulle kunna skapa av den skugga. Och frågeställningen var vad för applikationer man skulle kunna ha av en sådan skugga (själv tänkte jag på datorspel =D ifall dessa skuggor skulle visa sig meningsfulla).

Min reflektion över vår tolkning av dessa 3D-skuggor (färgskuggor av 4D) utgjordes av jämförelsen de 2D-plattor som rörde sig genom de kontinuerliga sanddynorna och de "knackiga" storstäderna. Något motsvarande skivan genom öknen fast istället en 3D-kub genom en 4D-värld vore kanske t ex en ballong som blåstes upp och föll ihop. Det låter inte meningsfullt, man får inget sammanhang på det eller någon helhetsbild. Men det är ju här som linsen kommer in. Har man en 2D-skugga (TV-rutan, bild) av 3D-världen så kan man fortfarande skapa sig ett sammanhang. En 2D-bild --> 3D-idévärld ungefär.

Där var lite av min fundering, av vad vi skapar för sammanhang av en 3D-skugga. Det är en psykologifråga. Jag kommenterade i trådstarten att 2D-bilder av vår 3D-värld blir vettiga, efter våra psykologiska förutsättningar. Men vi saknar perception (involverar sättet vi tolkar ögonens 2D-bilder till 3D; tack vare detta så kan vi kika på 2D-bilder och "se" att de är "perceptuellt vettiga") för 4D. Jag tror att det i teorin är fullt möjligt(!) för en biologisk hjärna att tolka 3D-skuggor från en 4D-värld och uppleva en 4D-rymd, men det i sig är en lång diskussion och jag menar då att det skulle krävas ett neurokirurgiskt ingrepp hehe. Hur som helst, min första poäng: vi skapar "vett" av 2D-bilder (som vi ser på TV). Den andra poängen är att 2D-bilder räcker som information för att ge oss en 3D-uppfattning (hur det fungerar och utvecklas är en annan diskussion, men det är uppenbart biologiskt betingat; det syns inte mins på vårt yttre i och med att vi har två ögon och bara kan röra oss i 3 riktningar).

Det här med en lins i en 4D (eller flerdimensionell) värld är i alla fall löst redan, där man får en mer "sammanhängande" bild än en knackig - en färgskugga. Min frågeställningar var iaf om det finns några tänkbara applikationer av en sådan lins .

Det är inte linsen som står för projektionen. Faktum är att man sällan modellerar med en lins i tex datorgrafik, utan i stället använder en hålkameramodell. Man har även ett projektionsplan(segment) som då motsvarar filmen (eller ljussensorernas positionering i en digitalkamera). I en riktig kamera sitter den bakom hålet/linsen, men inom datorgrafik i stället ofta "ute i världen" (vanligtvis i planet (x,y,1)) och har precis som filmen en normal som är parallell med kamerans riktningsvektor. Punkterna i världen projekteras på projektionsplansegmentet, och mappas sedan till en specifik pixel.
EDIT: matematiskt borde de inte vara svårt att skapa Nd objekt (för tex trianglar och sfärer är det bara att byta ut 3d vektorerna som definierar dem mot Nd vektorer), och sedan projektera de på ett N-1 hyperplan upprepade gånger tills man kommer till (N-1) == 2. Jag vet inte riktigt hur det skulle se ut dock.

TS menade nog nått annat.
Men jag kan nämna:

Då det gäller grafer, så finns program som kan visualisera 4 till 8 dimensioner.

1) normal 3D
2) + färg i snitt (av t.ex berggrund) där färg är dimension 4.

Annat Exempel:
1) normal 3D +
2) vektorer utritade i 3D. (strömhastighet = pilängnd, samt riktning (3 siffror/pil))
3) Färg= temp.
Summa dimensioner 3+3+1=8
Man kan lägga till animation, så man ser hur det förändras i tiden, det blir 9 dimensioner.

(Tänk väder-karta i 3D med, vind-pilar).

Christer

Agree. Så kan man tänka om 3D-världen runt omkring oss också, fast då går det inte ihop så bra. Men i grafer så är det väldigt utmärkt.

Jag tänkte att visualiseringen skulle gå till såhär. Istället för att rendera en 3D-bild med avseende på huruvida varje 3D-punkt i det aktuella djupet för den 4:e dimensionen innehåller någon punkt eller inte, så tänkte jag att man gör en linjär projektion av hela 4D-matrisen till en 3D-bild.

Det kan jämföras på följande sätt med en 2D- och 3D-värld, men blir realiserat mycket effektivare matematiskt (strålarna här går egentligen åt andra hållet): Strålar breder ut sig från vår kamera(virtuella öga, renderare) åt alla håll i alla vinklar, som hos en glödlampa, och träffar alla åtkomliga ytor omkring sig. Strålarna studsar tillbaka och vi får en "sfärisk bild" av alla synliga punkter som omringar oss. Alltså. Tänk en glödlampa i en grotta. Bara de punkter av grottans ytor som skulle kunna sträcka en rak linje oavbrutet (inget emellan) till lampan, är de så lyses upp. Om glödlampan vore vårt öga istället, så gäller det att de ytor som skulle lysas upp av glödlampan är synliga för vårt öga. Ur en glödlampas perspektiv så är precis alla punkter som omringar lampans synfält (en full sfär) upplysta - dvs synliga.

Resultatet bör bli en lika detaljrik bild som en 2D-bild för en 3D-bild. Om en hjärna har förmågan att tänka i 4D så kommer den 3D-bilden att vara lika vettigt 4D som en 2D-bild kan vara 3D-vettig för oss. Men eftersom att vi saknar perceptionsförmågan för 4D (det är bara att glömma kort sagt, såvida man inte kan göra något mirakulöst neurokirurgiskt ingrepp) så blir dessa bilder inte allt för meningslösa för oss. Vi får vår tolkning av den (finns lite videos på youtube http://www.youtube.com/watch?v=-x4P65EKjt0&feature=related) blir bara lite vackra bilder med lite matematiskt tänkande.