Uppgifter om differentialekvationer (tillämpningar)

Jag vet hur man löser ekvationerna, det är lätt. Men behöver träna på att ta fram ekvationen och lösa den i diverse olika tillämpningar.

Boken ligger i skolan .. Och jag har nationellt prov imorgon.

Uppgifterna bör alltså motsvara matte-e nivå.


Tack på förhand.

Det är tråkigt att komma på lätta uppgifter, så här får du några svåra.

1. Vi har isotoper A, B och C. A sönderfaller till B med halveringstiden 1 minut. B sönderfaller till C med halveringstiden 2 minuter. C är stabil. Jag tar ett kilo A, och väntar sen 5 minuter. Hur mycket C har jag? (Antag att massan inte ändras vid sönderfallet.)

(Tips: Sönderfallshastigheten av en radioaktiv isotop är proportionell mot mängden av den isotopen som finns.)

2: Ena änden av ett elastiskt gummiband av längd 1 meter är fäst i väggen. En (punktformad) myra står vid den änden. Vid t = 0 börjar myran vandra framåt, mot andra änden, med hastigheten 1 cm/minut. Samtidigt så står jag vid andra änden av gummibandet, drar i det, och börjar gå bakåt, också med hastigheten 1 cm/min, så att gummibandet tänjs ut. (Notera att gummibandet tänjs lika mycket på alla ställen, och myran dras med; så om myran stod mitt på gummibandet, så kommer uttänjningen ge myran en extra fart på 0,5 cm/min utöver dess fart relativt gummibandet.) Hur lång tid tar det innan myran når mig?

Okej, tackar! Skall kolla på dom så fort jag varit nere på stan.

ah, återkommer senare när jag har blivit bättre på att lösa enklare varianter.

En klassiker är:

En vattentank på 100 liter innehåller en saltlösning med 5% salt. Det rinner ut 5 liter i sekunden och det kommer in 5 liter av en saltlösning på 1%. Antag att behållaren konstant blandas väl så att vattnet som rinner ut motsvarar genomsnittskoncentrationen. Hur är mängden salt i behållarens som en funktion av tiden?

Svårare variant:

En vattentank på 100 liter innehåller en saltlösning med 5% salt. Det rinner ut 5 liter i sekunden och det rinner in 4 liter av en saltlösning på 1%. Antag att behållaren konstant blandas väl så att vattnet som rinner ut motsvarar genomsnittskoncentrationen. Hur är mängden salt i behållarens som en funktion av tiden?

Jag hjälpte en tjej med motsvarande uppgift från ett nationellt prov i Ma E för någon vecka sedan. Här är den varianten.

Vismut sönderfaller till tallium med en sönderfallshastighet av 32 % per minut. Tallium sönderfaller till bly med sönderfallshastigheten 15 % per minut. Det bly som bildas är stabilt och sönderfaller alltså inte. Vid ett laboratorieförsök utgår vi från en viss mängd ren vismut. Vi betecknar
mängderna av vismut och tallium med A respektive B vid den tidpunkt då sönderfallet pågått i t minuter. Förändringshastigheten hos mängden tallium kan då beskrivas med differentialekvationen

dB/dt = 0.32A - 0.15B

a) Beteckna mängden bly med C och ställ upp differentialekvationer som beskriver förändringshastigheterna hos mängderna av vismut och bly.
b) Vad kan man säga om förändringshastigheterna för mängderna av vismut, tallium och bly vid den tidpunkt då mängden tallium är maximal?

Okej, skall kolla på den.

Har kört fast på en annan uppgift som jag hittade dock.


Enligt facit ser den ut enligt följande: dy/dx = 0.0004 - y/40

Jag förstår inte hur dom resonerar sig fram till formeln?

a) Vi har att: dB/dt = 0.32A - 0.15B

Vismut sönderfaller till talllium med sönderfallshastigheten 32 % per minut och tallium sönderfaller till bly med sönderfallshastigheten 15 % per minut.

Vi betecknar A = vismut och B = tallium.

Vi får då två ekvationer:

dA/dt = -032A samt dC/dt=0.15B (teckenskillnaden beror på att blyet "tar emot" medan vismut "avger"

b) Då mängden av tallium är maximal borde väl tiden t vara lika med 0 dvs. precis vid laboratorieförsökets början. Och om tiden är noll kommer inte hela kedjan av sönderfall att ske. Med andra ord är sönderfallshastigheten för samtliga ämnen noll precis vid den tidpunkt då mängden vismut är konstant och inte sönderfaller.

1. När har en funktion f(x) ett lokalt maximum?

2. Antag att du börjar enbart med vismut vid tiden t = 0. Hur förändras mängden tallium över tiden?

Svaret på första frågan, är det 0,705kg? Om inte, vad är svaret? Vill gärna se om jag räknat rätt

0,717 menade jag, det var det jag fick nu när jag räknade!

Hmm, jag får svaret 0,677 kg, men det är ju mycket möjligt att jag har räknat fel.

Står fast vid mitt första svar när jag tänker efter.

Här är min lösning (inte riktat skriven mot nån som inte har klurat lite på problemet men hoppas ni förstår vad jag har gjort)

http://www.webfilehost.com/?mode=viewupload&id=5718396

0,705kg fick jag det till! Märkte dock att jag tagit hänsyn till att massan ändras med tiden, så var inte uppgiften som du skrev men det var ju inte lika roligt då...