Vad är axlar

Ju mer jag funderar på detta, ju mer förvirrande blir det. Vad är axlar?

För det första använder vi i Sverige axel för vad som i engelska är två olika saker: axe respektive axis. Axis är en linje som används för att visa rotation, symmetri m.m. Axe är det axel-begrepp jag talar om här, som används t ex för att tala om axlarna i ett kartesianskt koordinatsystem. Linjen - axis - utrycks ibland i svenska som längdaxel, för att inte förväxlas med axlarna i ett koordinatsystem.

Även i engelsk text uppkommer en viss förvirring, bland annat för att både axis och axe heter axes i plural.


Varje axel i ett koordinatsystem motsvarar en basvektor, men axlarna är definitivt inte basvektorer. Linjer är de givetvis inte heller. De har det gemensamt med vektorer, att de äger en riktning.

Vanligen skiljer man mellan axlar och koordinater genom att beteckna de förra med stora bokstäver, de senare med små. Vi kan sålunda ha axlarna X, Y och Z, och ange möjliga koordinater med x, y och z. [edit: hur illa det kan gå om man använder stora bokstäver för båda visas i exemplet från Harrie nedan]

Jag lutar åt att axlar helt enkelt är synonymt med riktning, men begreppet tycks av någon anledning antingen sakna matematisk definition, eller så utelämnar man den av konvention. Axel är alltså ett av de grundbegrepp som behövs för att definiera en vektor.

Exempel på hur illa det kan gå och hur stor förvirringen är:


Harrie (red), Geografisk informationsbehandling, s 70.

http://data.fuskbugg.se/skalman02/4dd91d19974d7_Harrie%20s%2070%20koordinater%20och% 20formler.jpg

Axlarna uttrycks med X, Y och Z. ( på s. 69 uttrycks koordinater för punkten p som Xp, Yp, Zp
[edit: http://data.fuskbugg.se/skalman02/4dd91e14a0bf9_Harrie%20s%2069%20beteckningar%20f%F 6r%20axlar%20och%20koordinater.jpg ).
En halv axel uttrycks med a och b.
Axlar används i formler ( se den för jordellipsoidens yta!!), som blir helt obegripliga och vansinniga.

Felet författaren gör, trots att detta är 'fjärde omarbetade upplagan 2008', att
- förväxla koordinater med axlar
- använda samma beteckningar ( t ex X) i ett och samma sammanhang, för helt olika saker
- blanda in ytterligare ett helt annat begrepp, som avser diameter, 'storaxel', i samma sammanhang axlarna i ett koordinatsystem, utan att göra någon distinktion däremellan.

Resultat: en helt vansinnig formel där samma beteckning används för två helt olika saker, och tre olika axelbegrepp möts. Total förvirring, eller budskapet 'det här ska du inte förstå, var god bläddra vidare' förmedlas till eleverna. Ändå är boken avsedd, enligt baksidan, inte endast som introduktionskurs på universitet, utan också för 'en mer avancerad nivå'.

Va? Axe betyder yxa och inget annat. Koordinataxel, rotationsaxel, etc. heter på engelska axis i singular och axes i plural.


Ja?


Jag har aldrig sett i något sammanhang att en axel skulle ha versal bokstav medan koordinaterna är gemena. I ett kartesiskt koordinatsystem med koordinaterna x, y och z talar man om x-, y- och z-axel, inte X-, Y- och Z-axel.


Här har ju författaren valt att kalla axlarna för X-, Y- och Z-axel, koordinaterna är således X, Y och Z.

Nej, titta igen. Axlarna betecknas X, Y och Z. Koordinaterna heter Xp o.s.v, dvs subscript vad det nu kallas på svenska...

Ja, punkten p har koordinaterna Xp, Yp och Zp. Jag kan välja valfri punkt och kalla dess koordinater för (g', f, U_low) om det skulle passa mina syften. Men den allmänna koordinaten för en punkt i deras koordinatsystem kommer att vara (X, Y, Z).

Vad menas med 'den allmänna koordinaten'?

Jag menade koordinaten för en godtycklig punkt.

Jag tror jag förstår. Så från språkbruket i Harrie kan vi alltså sluta oss till att axeln X betyder 'variabeln X' o.s.v.

Men då återstår grundfrågan: vad är en axel och hur betecknas den? x-axeln t ex. X kan vi inte använda, för den är en variabel. En linje är den inte, ej heller en vektor.

Så vad i helsicke är det för något.

En axel är en vektor. Storaxlar, lillaxlar är definerade för ellipser, http://sv.wikipedia.org/wiki/Halv_storaxel. Axel är inte väldefinerat (iaf inte som det används här) en koordinat ges som en summa av basvektorer.
Vanligtvis brukar man anta att axlarna sammanfaller med basvektorerna för symetriaxel, föredrar jag att se det som en symetrivektor.

Ja.


Varför behöver du beteckna en axel? Den är en referenslinje som utgår från origo, och på denna referenslinje anges koordinaterna var och en.

En koordinataxel är en linje man ritar ut i sina diagram för att ange en riktning (oftast riktningen av en basvektor) samt skala, ingenting annat. Det är inte något väldefinierat matematiskt objekt i sig, då man inte behöver något sånt; det man använder är basvektorer eller koordinatfunktioner etc.

Tack för svaren. Jag tror att jag förstår - axlar är bara ett bekvämt pedagogiskt begrepp utan matematisk mening.

Men jag blir inte klok på hur man kan räkna med axlar i vissa fall. I de flesta koordinatsystem har axeln ingen längd, och är bara ett verktyg för att ange en riktning. På så sätt kan man ge formeln för en ellips yta inom ett koordinatsystem. Men samtidigt räknar man med halva axlarna, där hela axeln är identiskt med den kortaste respektive längsta diametern på ellipsen.

Exempel på sådant språkbruk:
"The distance between antipodal points on the ellipse, or pairs of points whose midpoint is at the center of the ellipse, is maximum along the major axis or transverse diameter, and a minimum along the perpendicular minor axis or conjugate diameter" http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Är det fler axlar som har en längd på detta sätt?

Detta är en annan sorts axel - inte en koordinataxel, utan en stor- respektive lillaxel - så kallar man nämligen den längsta och kortaste raka linje som utgår från periferin på en ellips, går igenom ellipsens mitt och slutar vid periferin.

Andra exempel på axlar (som inte är oändligt långa): vevaxel, kroppsdelen axel, kardanaxel, maktaxel samt Axel Johnson.