Trippelintegral

§§§sqrt(x^2+y^2+z^2)dxdydz över området : enhetssfären och konen x^2+y^2<=z^2

Blir området en glassstrut åt båda hållen på z-axeln?

Menar du snittet av enhetsbollen och dubbelkonen?


Om du menar det jag skriver, så är svaret ja. Observera att konen har välvd basyta, inte plan.

Sry hade väldigt bråttom när jag skrev förut, men du lyckades tolka mig rätt.

Jag är väldigt osäker på hur jag ska beräkna denna trippelintegral, ska man integrera över dubbelkonen(som då har plan basyta) först och sedan över "locket" och sedan integrera detta över glassens projektion på xy-planet?

Nej, använd sfäriska koordinater.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A4riska_koordinater

http://img263.imageshack.us/i/glasstrut.jpg/

Så där uppfattar jag situationen.

Sfäriska kooordinater ok.Vad varierar radien emellan? och hur får jag bukt med att det är en dubbelstrut? integrera den ena och multiplicera med 2?

x² + y² + z² ≤ 1
x² + y² ≤ z²

Övergång till rymdpolära koordinater ger:

r ≤ 1 och sin²θ ≤ cos²θ

Av symmetriskäl (titta på integranden) räcker det med att integrera den övre "glasstruten" och dubblera detta resultat för att få fram integralen. Där gäller att 0 ≤ θ ≤ π/2 och sinθ, cosθ ≥ 0. Därmed är området r ≤ 1 och sinθ ≤ cosθ vilket gäller för 0 ≤ θ ≤ π/4. Vidare gäller 0 ≤ φ ≤ 2π och där har du dina gränser.

Korrekt (bortsett från findetaljer).


Vad anser du själv att gränserna för radie och vinklar är?


Ja. Kan du motivera varför integralerna över de två strutarna blir lika stora?

radien måste variera mellan 0 och 1. Den ena vinkeln från 0 till pi/4 och den andra 0 till 2pi

Att integralerna blir lika stora måste väll ha att göra med att man kan definiera en integral som en riemansumma där antal termer går mot oändligheten?

Däremot tycker jag det är lätt att luras att de skulle ha motsatt tecken och således ta ut varandra

Nej, titta på integranden igen som är x² + y² + z². Säger den dig något?

Integranden kommer alltid anta positiva värden?

Integranden är ju en sfär, man integrerar alltså en volym över en volym?
z-värdet kommer iaf inte byta tecken

Integranden sqrt(x^2+y^2+z^2) är ju radien i en sfär. Men vad menar ni med symmetriskäl? Hur motiverar ni att man kan räkna ut integralen från z=0 till z=1 och sedan dubblera?