Angående Taylors sats (är detta sant?)

Tjena,

Låt säga att vi har en Taylorutveckling av ordning n-1. Resten på integralform är då

http://mathurl.com/238fexl.png

Jag påstår att om vi integrerar resttermen partiellt n-1 gånger (tror jag) (dvs, partialintegrerar vidare på integralen i den integral som skapas varje gång man integrerar partiellt), så kommer varje term (förutom den sista) som skapas genom denna integration att ta ut en av Taylorpolynomets termer. Den enda term som blir kvar är då f(x), så vi har ekvationen f(x)=f(x).

Är detta sant, och i sådana fall, är det formen http://mathurl.com/2u5zryc.png på partialintegrationen man använder, och inte http://mathurl.com/35q3npa.png ?

Tack på förhand!

Ja.


Svårt att säga eftersom du länkat samma bild två gånger.

Nej, det kan det inte vara. Till exempel har f(x) och f(x)+x samma restterm om du taylorutvecklar till första ordningen.

Hoppsan. http://mathurl.com/35q3npa.png ska det vara.



Säker på det?
http://mathurl.com/38cf5jy.png
http://mathurl.com/3y28uyz.png
http://mathurl.com/2u3jxct.png

Ja, fast mitt exempel var kanske inte det bästa (det kräver en restterm av andra ordningen, första ordningens restterm är förstås annorlunda för f(x) och f(x)+x). Om jag förstår det rätt menar du att utifrån f(n)(x) kan man integrera fram f(x). Detta stämmer inte eftersom man saknar n st integrationskonstanter. Eller har jag missförstått vad det är du vill göra?

Jag tror du har missförstått mig. Det jag säger är att om vi har f(x)=(Taylorpolynom)+(restterm på integralform), och integrerar resttermen partiellt om och om igen, lika många gånger som Taylorpolynomets ordning), så kommer varje term som skapas av integrationen ta ut (kancellera) en lika dan term i Taylorpolynomet, så att det enda som blir kvar är f(x) på högersidan av ekvationen. Dvs, det enda som blir kvar är f(x)=f(x).

I så fall är (restterm) = f(x) - (Taylorpolynom), så om du stoppar in f(x)+x istället för f(x) så kommer högerledet inte att ändras och resttermen alltså inte heller ändras (om expansionen är till ordning ett eller högre). Du kan inte genom integration bestämma (Taylorpolynom), och alltså inte heller f(x) fullständigt.

Jag är rätt säker på att du har fel, och att jag har rätt.

Om vi utvecklar f(x)=x i punkten a får vi:
http://mathurl.com/2wnjsov.png

Det gäller ju att alla derivator av ordning 2 och högre är 0 för f(x)=x, samt f'(a)=1 så det som blir kvar av utvecklingen är
http://mathurl.com/2uzxqkv.png

Sätt f(x) = p + qx
Taylor: f(x) = f(a) + integral f'(t) dt = p + qa + integral q dt (integrationsgräns a..x)

Menar du att det gömmer sig ett p någonstans i integral q dt? Om inte har jag missuppfattat ditt påstående, ber om ursäkt i så fall. Men om det inte finns ett p i resttermen, hur menar du att "..kommer varje term (förutom den sista) som skapas genom denna integration att ta ut en av Taylorpolynomets termer."

Du missar det uppenbara: i högerledet har du f(x)=p+qx. Då du i vänsterledet utvecklar till ordning 0 får du mycket riktigt p+qa+integral q dt (integrationsgräns a..x).

Du har p på båda sidor om likhetstecknet, så de tar ut varandra. Av integralen får du (f(x)-f(a))=(p+qx)-(p+qa), så p:na i integralen tar ut varandra och du har i högerledet: qa+(qx-qa)=qx.

*host*
f(x) = f(a) + integral f'(t) dt = p + qa + integral q dt= p +qa +q(x-a)= p +qx = f(x)

edit: TS han först
On topic: Ja du har rätt, det är ju bara omvänd utveckling

Ett mer slående exempel är:
f(x)=1
Resttermen blir då 0.
Hur ska du partialintegrera 0 till 1?

Edit: Ok, mitt exempel var dumt, men för att partialintegrera ordentligt så behöver du redan veta hur funktionen ser ut så det är värdelös kunskap egentligen.