Komplex analys: analytiska funktioner och laplace operatorn.

Tjaba! Jag sitter med en uppgift inom komplex analys som handlar om analytiska funktioner och laplace operatorn.

Det finns en dellösning som ser ut så här:

∂²/∂x²(r²+s²) = 2(∂r/∂x)²+2r∂²r/∂x²+2(∂s/∂x)²+2s∂²s/∂x²

Jag förstår inte hur man får fram denna uträkning. Någon som orkar förklara det för mig? Tackar!

Först har vi

∂²/∂x²(r²) =
= ∂/∂x(∂/∂x(r²))
= ∂/∂x(2r∂r/∂x) (kedjeregeln/produktregeln)
= 2(∂r/∂x)(∂r/∂x) + 2r∂/∂x(∂r/∂x) (produktregeln)
= 2(∂r/∂x)² + 2r∂²r/∂x².

På exakt samma sätt får vi

∂²/∂x²(r²) = 2(∂s/∂x)² + 2s∂²s/∂x²

och lägger man ihop dessa får man just formeln du har.

Du ska ha tack.