kurvintegral.

Hejsan, Nedan följer en annars ganska enkelt vektoruppgift. Jag har funderingar kring ett par detaljer bara.

http://i56.tinypic.com/11b2lmv.png

http://i55.tinypic.com/280nqc1.png

Hur har man kommit fram till den enhetsnormalen?
Varför blir dS = √2dxdy.
Och vad händer med 1/sqrt2 (x+z) i sista raden. x+z verkar försvinna. Men varför?

Eftersom cirkelskivan är helt innesluten i planet x+z = 1 så har den också samma normal; och enhetsnormalen till planet är ±2^(1/2) (1, 0, 1), för att veta vilken av enhetsnormalerna du ska använda så att du får rätt orientation behöver du nog rita upp situationen för att se vilken det blir.


Vi är fortfarande i planet x + z = 1, så z = 1 - x, så parametriseringen av planet är då

r(x, y) = (x, y, 1 - x)

och använder vi då den vanliga formeln dS = ∂r/∂x × ∂r/∂y dx dy, får man formeln du vill ha ut.

Enklare (men kräver mer geometrisk förståelse) är att bara inse att planet x+z=1 lutar 45°, (det vill säga bildar en 45°:s vinkel mot xy-planet), vilket gör att om man har en figur med area A i (x+z=1)-planet så kommer dess "skugga", det vill säga projektion på xy-planet, ha area A*sin 45°; om vi då tänker oss ett litet areaelement dS så innebär detta att

dS * sin 45° = dx dy

och formeln för dS följer från detta.


Vi är alltjämt i planet x+z=1, och där är x + z = 1.

Det var fint förklarat, tack .
Jag är dock fortfarande inte helt med din beskrivning av enhetsnormalen.
Jag har lärt mig att göra så: parametrisera till (x, y, 1-x) och köra ∂r/∂x × ∂r/∂y för att hitta normalen som du gjorde med areaelementet fast utan dxdy. Nu har vi n=(1,0,1)
och integralen blir ∫∫ divFndS = ∫∫(x,2x-2y,z)(1,0,1)dxdy = ∫∫x-z dxdy=sammareultat som länken.
Men jag involverade aldrig någon √2
Finns det något fel med det rent konceptuellt?

Om jag förstår dig rätt så använder du alltså direkt att

ndS = ∂r/∂x × ∂r/∂y dxdy.

Detta funkar, och man kan nog argumentera för att det kanske är enklare.

Däremot så skulle jag vilja påstå att metoden som används i dokumentet är enklare förutsatt att man faktiskt har den rätta geometriska förståelsen. I så fall behöver man aldrig göra några faktiska beräkningar alls utan kan skriva ner direkt vad svaret blir. Det är (gissar jag) detta som författaren av den lösningen har gjort, och det är också därför som formlerna inte är vidare förklarade, eftersom det faktiskt går att bara "se" direkt vad de blir.

Jasså. Ok. Jag är faktiskt inget vidare på att visualisera den geometriska formen av en uppgift, förutom enklare fall så som en sfär, en cirkel, en cylinder osv. Blir klurigt med skärningar. Känner du till någon hemsida eller dylikt för att bli duktigare på detta får du gärna dela med dig.

Men om mitt sätt fungerar också så undrar jag vad det säger om vår diskussion igår angående rdrdθ vs drdθ om polära koordinater. https://www.flashback.org/t1367897

Du förklarade att r:et var inbakat i ∂r/∂x × ∂r/∂y och att det var en del av dS. Men om vi kör enligt mitt sätt så blir ∂r/∂x × ∂r/∂y bara n och skillt från dS. Då förstår jag inte varför det blir ∫∫Andrdθ och inte ∫∫Anrdrdθ . Hoppas det var förståeligt.

Av rent intresse, vilken kurs? (100 % OT)

Jag vet faktiskt inte. Det här är nog definitivt en sådan sak där det inte är helt klart exakt hur folk lär sig det, men folk gör det oftast till slut ändå. Däremot tror jag att det hjälper att veta hur man ritar tre koordinataxlar på ett vettigt sätt (finns väl i princip två sätt att göra det, antingen ritar man x-axeln åt "öster", z-axeln åt "norr" och y-axeln åt "nordost" (men man tänker sig att y-axeln går in i pappret), eller så ritar man y-axeln åt "öster", z-axeln åt "norr" och x-axeln åt "sydväst" (men man tänker på det som ut från pappret). Oftast tenderar folk att använda den förra bilden, men jag tror faktiskt man oftast får en tydligare bild av vad som händer (i alla fall i första oktanten) men den senare.

Sedan är det väl bra att kunna se att eftersom x+z=1 inte involverar y kommer planet vara parallellt med y-axeln, och då kan rita ut det genom att rita linjen x+z=1 i xz-planet, och sen fortsätta i y-riktningen på ett "parallellt" sätt så att man får ett plan.

Men i allmänhet är det som sagt en sån där grej som inte lärs ut explicit, och jag känner inte till någon speciell hemsida som tar upp sånt.


Jag tror att du låter n beteckna två olika saker; dels vektorn ∂r/∂x × ∂r/∂y, dels en enhetsnormal till ytan ifråga. Om vi istället låter m beteckna enhetsnormalen (vanligare notation är väl n med ^ på, men det är knepigt att skriva här), så är det sant att

n är normal till ytan, men i allmänhet inte en enhetsnormal. Dock kan man då skriva n som n = f(x,y) m. I fallet när ytan ifråga är xy-planet med polära koordinater så kommer f(r,θ) = r, och [n]n[/b] = rm, och dina två uttryck ∫∫A . ndrdθ och ∫∫A . mrdrdθ blir identiska.

Det var detta jag vill få fram med "inbakat". Man kan välja att skriva ytintegralen på två sätt: Antingen så tar man en enhetsnormal m till ytan, men då måste man också ta med en korrigerande faktor (som i fallet med planpolära koordinater blir r). Eller så räknar man ut n = ∂r/∂x × ∂r/∂y direkt, då kommer n = rm, och faktorn r är då redan "inbakad" i n och behöver inte tas med igen.

Vektoranalys.

Kanon! tack.