Partikulärlösningen av sin x. HJÄLP!

Hej, gör lite matte e och behöver hjälp med att ange partikulärlösningen av sin x.


tack!

Hur lyder differentialekvationen?

y'+3y=sin x

Ansätt
yp = A cos(x) + B sin(x)
yp' = -A sin(x) + B cos(x)
-A sin(x) + B cos(x) + 3A cos(x) + 3B sin(x) = sin(x)
-A + 3B = 1 (1)
B + 3A = 0 (2) <=> B = -3A =>
-A - 9A = 1 => A = -1/10
Stoppa in i (2) ger B = 3/10
dvs
yp = 3/10 sin(x) - 1/10 cos(x)

Det ända jag inte förstår är varför du ansätter yp= a cos(x) + B sin(x)

Man kan lära sig lämpliga ansatser som tabellfakta.

Eller så ser man att y-termen i diffekven skulle ge högerledet om man satte y = A sin x med lämpligt värde på A, men att då ger y'-termen en cos-term som vi behöver kompensera för. Genom att ta en linjärkombination av sin x och cos x kan vi få ihop det.

Man kan också lösa hela differentialekvationen utan att dela upp i homogen- och partikulärlösning genom att använda en integrerande faktor, men då måste man i stället hitta en primitiv funktion till e^(3x) sin(x).

Lånar denna då jag har en liknande uppgift! Tog helt plötsligt tvärstopp när sin och cos kom in i bilden.

Ekvationen y'-y = 2 cos x har en partikulärlösning y = sin x - cos x.

Verifiera detta och ange sedan ekvationens allmänna lösning.

Hur börjar man?

För att verifiera:
Börja med att derivera partikulärlösningen. Stoppa sedan in y och y' i differentialekvationens vänsterled y'-y. Får du högerledet 2 cos x efter förenkling?

För att få allmänna lösningen:
Lös den homogena ekvationen y'-y = 0. Tag sedan den givna partikulärlösningen och addera homogenlösningen.

TACK SOM SATAN! Det fungerar ju alldeles ypperligt!