Taylor problem HJÄLP!

hej, kan inte räkna matte så jag behöver hjälp med följande uppgift:

Beräkna gränsvärdet lim x->0

(1 − e^(2x) + sin 2x)/ (1 − cos x)

med hjälp av Taylorutveckling.

känner ni er riktigt givmilda så kan ni även försöka er på;


Beräkna approximativt värdet av integralen, int (sinx/ x) dx from x=0 to x= 1/2. Kan du göra det
så att ditt approximativa värde har ett fel som är mindre än en tusendel?
Finns det fler än ett sätt att lösa denna uppgift?

tack på förhand!

Nu är jag kanske inte så haj på räknandet, men eftersom x->0 kan du använda dig av kända maclaurinserier
e^x = 1 + x + O(x^2) då x ->0 (fler termer om man orkar)
(i ditt fall) e^2x = 1 + 2x + O(x^2)

sin(x) =x - (x^3)/3! + O(x^5)
sin(2x) = 2x - (4/3)x^3 + O(x^5)

cos(x) = 1 - (x^2)/2 + O(x^4)

Sätt in detta i formel så löser det väl sig?

Vad gäller b) så bör du kolla trapetsmetoden och simpsons metod kanske..

tack så mycket för svaret!

tyvärr får jag fortfarande fel... svaret ska bli -4 och jag får att de år mot 1 :s

tror du att du skulle kunna utveckal?

orkar du posta din lösning?

taylorutveckling av e^2x kring x=0:

1+2x+2x²+x³R_1(x)

taylorutveckling av sin(2x) kring x=0:

2x+x³R_2(x)

taylorutveckling av cos(x) kring x=0:

1-x²/2+x^4R_3(x)

alltså har du nu

lim[x→0] (1-(1+2x+2x²+x³R_1(x)) + 2x+x³R_2(x)) / (1-(1-x²/2+x^4R_3(x))
=
lim[x→0](-2x²-x³R_4(x))/(x²/2+x^4R_3(x))
=
lim[x→0](x²(-2-xR_4(x))/(x²((1/2)+x²R_3(x)) = -2/(1/2) = -4