Matte C hjälp!

Hej har två stycken frågor här som vore snäll om någon hjälpte mig med!

FRÅGA 1

År 1930 var jorden befolkning 2,07 miljarder människor. 1990 hade den växt till 5,24 miljarder. Hur stor bör jordens befolkning ha varit vid tidpunkten för USA:s självständighetsförklaring (dvs år 1776) om vi antar att jordens befolkningstillväxt är (och har varit) exponentiell? Svara med tre gällande siffror.


FRÅGA 2

Med hjälp av Newtons avsvalningslag kan man fastställa tidpunkten för ett dödsfall. Lagen säger att temperatur-differensen mellan en kropps temperatur och omgivningens temperatur avtar exponentiellt med tiden t. En tekniker på polisens våldsrotel får reda på att temperaturen på kroppen hos ett misstänkt dödsfall vid upptäckten var 31,0 °C. Vid temperaturmätning 2h 25min senare hade temperaturen sjunkit 28,0 °C. Rumstemperaturen fastställdes till 20,0 °C. När hade dödsfallet inträffat?

Tack på förhand!

Du använder dig av y = C * a^2
eller vad den heter

N = No*k^x

Vad du gör är precis som nämnt ovan, du använder dig av y=C*a^x
C är ursprungsmängden, a är tillväxtfaktorn och x i det här fallet är antalet år (i första frågan).

C i fråga 1 är 2,07 miljarder människor. y är 5,24 miljarder människor. x är tiden i år, mätt från 1930 till 1990, alltså 1990-1930=60
då¨har vi:
5,24miljarder = 2,07miljarder*a^60
a blir då:
a=60:nde roten av (5,24/2,07)

Nu har vi tillväxtfaktorn och kan lösa hur stor befolkningen var 1776 genom att sätta 2,07 miljarder som C. Sätta a som det vi fick fram, alltså 60:nde roten av (5,24/2,07), sätta x som 1930-1776=154, det är y som är befolkningen år 1776:

y=2,07 miljarder*a^154
då räknar du bara ut vad y är på miniräknare, viola!

måste diska, lycka till med andra talet :P

y = C*a^x
Där x är variabeln för tid
C är startvärdet
a är förändringskonstanten

Vi kan då se år 1776 som startåret, alltså år noll. Då är år 1930, 154 år framåt i tiden, alltså:

För år 1930:

2.07 = C*a^154

För år 1990:

5.24 = C*a^214

För år 1776:

y = C*a^0 ⇔
y = C

Vi kan då skapa ett ekvationssystem:

{2.07 = C*a^154
{5.24 = C*a^214

2.07 = C*a^154 ⇔
2.07/a^154 = C

5.24 = C*a^214 ⇔
5.24 = (2.07/a^154)*a^214 ⇔
5.24 = 2.07a^60 ⇔
5.24/2.07 = a^60 ⇔
(5.24/2.07)^(1/60) = a ⇔
a ≈ 1.0156

Vi vill också lösa ut C:

2.07 = C*a^154 ⇔
2.07 = C*((5.24/2.07)^(1/60))^154 ⇔
2.07/(((5.24/2.07)^(1/60))^154) = C ⇔
C ≈ 0.190843

Svar: Cirka 190 miljoner människor fanns det på jorden år 1776.

Då vet vi detta om starttiden, alltså vid tiden noll (x är då noll):

31 = C*a^0 ⇔
31 = C

Då vet vi C!

28 = 31*a^(2+25/60)

Eftersom 2 timmar och 25 minuter är 2 hela timmar och 25/60 minuters timmar.

Vi löser då ut a:

28/31 = a^(2+25/60) ⇔
28/31 = a^(29/12) ⇔
(28/31)^(12/29) = a

Nu vill vi veta vilken tid temperaturen var 37 grader. Det bör bli en negativ tid, eftersom jag nyttjade tiden som noll vid temperaturen 31 grader som starttid.

Löser ut tiden för 37 grader:

37 = 31*[(28/31)^(12/29)]^x ⇔
37/31 = [(28/31)^(12x/29)] ⇔
ln(37/31) = ln([(28/31)^(12x/29)]) ⇔
ln(37/31) = (12x/29)ln(28/31) ⇔
ln(37/31)*29 = 12xln(28/31) ⇔
(ln(37/31)*29)/(12*ln(28/31)) = x ⇔
x ≈ -4.2

Svar: Dödsfallet hade inträffat cirka 4.2 timmar före kroppen hade påträffats död och temperaturmätning hade gjorts.

Tack så jätte mycket!