Linjär avbildning eller ej?

Hallå allihopa,

Jag har en fråga angående linjära avbildningar.. Allmänt känt är ju att nollvektorns avbildning i en linjär avbildning ska avbildas på sig självt, alltså att F(0) = 0. (på grund av homogeniteten i en linjär avbildning) Men vad innebär detta i en geometrisk mening? Nedan har jag länkat en bild på en linjär (eller icke-linjär, det är frågan..) avbildning av ett hus.

http://img259.imageshack.us/img259/8097/linjravb.jpg

Detta är ju varken en spegling, vridning, vridspegling, sträckning eller något i den stilen, utan snarare en "flyttning" om man nu kan säga så.. Skulle ni hävda att detta är en linjär avbildning? (Huset till höger skulle alltså vara avbildningen) Ni får väldigt gärna motivera er så gott ni kan i ert resonemang.

Tackar och bockar för mig.

Du svarar ju på din egen fråga? Det är ingen linjär avbildning nej.

Det kanske inte framgick, men jag är alltså osäker på den geometriska tolkningen av faktumet att nollvektorn ska avbildas på sig självt. Innebär detta att en linjär avbildning måste ha ett hörn i origo?

Det är en affin avbildning, den är inte linjär. Dock kan kan hitta på nya (s.k. homogena) koordinater där den är linjär, men då får man gå upp en dimension (dvs till tre i ditt fall).

Om originalfiguren har ett hörn i origo, måste bilden också ha ett hörn i origo.

Perfekt, tack för det klargörandet manne! Tack även apanlapan och gTab2.

Det kallas för translation. Genom att använda homogena koordinater kan du uttrycka det som
P' = M * p där p är en punkt i "huset" (u, v) som har utökats med en koordinat till (u, v,1) där ettan anger att det är en punkt. Om det i stället hade varit en nolla hade det tolkats som en vektor. En annan fördel med detta är att subtraktion mellan två punkter ger en vektor (1-1 = 0) och addition av en punkt och en vektor ger en punkt (1+0=1) (en tredje fördel är att underlättar ickelinjära pespektivkorrekta projektioner).
Hur som helst. Med homogena koordinater blir M (translationsmatrisen) en 3*3 matrix i planet (4*4 i rymden) och ser ut så här:
1 0 a
0 1 b
0 0 1
och det ger att p'= (u + a, v + b, 1) vilket alltså ger en ny punkt där u koordinaten förskjutits a steg och v koordinaten b steg, som på bilden.