Matematisk formel för att vända om siffrorna i ett tal?

En gång såg jag på baksidan av ett mjölkpaket en matematisk formel som kunde
kasta om siffrorna i ett tal till motsatt ordning. T.ex

45423 -> 32454
... eller ...
98215 -> 51289

Undrar hur formeln såg ut och vad den heter? Hittar den inte längre!

Du ser väl att det bara är att vända dem? Eller menar du att den kunde räkna ut det? :S

Ja, man ska kunna räkna ut det.

Japp, det är mycket spännande detta:




Vi har talet abc
(a*10^2+b*10^1+c*10^0)*(a*10^0+b*10^1+c*10^2)
=a^2*10^2 + ab*10^3 + ac*10^4 + ba*10^1 + b^2*10^2 + bc*10^3
+ ca*10^0 + cb*10^1 + c^2*10^2

HL = a^2*10^2 + b^2*10^2 + c^2*10^2 + ab*10^3 + ba*10^1 + ac*10^4
+ ca*10^0 + bc*10^3 + cb*10^1

HL = a^2*10^2 + b^2*10^2 + c^2*10^2 + ab*1010 + ac*10001 + bc*1010

HL = 10^2(a^2 + b^2 + c^2) + 1010*(ab + bc) + 10001*ac

ekvationen VL = HL kan nu ge oss:

(a*10^0+b*10^1+c*10^2)
= [10^2(a^2 + b^2 + c^2) + 1010*(ab + bc) + 10001*ac] / (a*10^2+b*10^1+c*10^0)

Exempel:

Talet 723's omvända tal kan fås genom:

[10^2(7^2 + 2^2 + 3^2) + 1010*(7*2 + 2*3) + 10001*7*3] /723
= [100(49+4+9)+1010(14+6)+10001*21]/723
= [100(62)+1010(20)+210021]/723
= [6200 + 20200+210021]/723
=236421/723 = 327

Den här formeln fungerar hittils med bara tresiffriga tal, och så är den ganska besvärlig.
Men någon vassare kanske kan faktorisera detta [10^2(a^2 + b^2 + c^2) + 1010*(ab + bc) + 10001*ac] så att det blir mer praktiskt. I och med att divisionen med originaltalet aldrig ger någon rest måste faktorn "abc" (alltså a*10^2 + b*10^1 + c*10^0) finnas där, ack och ve, jag önskar jag hade kvar mina färdigheter i polynomdivision.

Ny metod:

(a*10^2+b*10^1+c*10^0) + (a*10^0+b*10^1+c*10^2) +

= a*10^2+b*10^1+c*10^0 + a*10^0+b*10^1+c*10^2

= a(101) + b(20) + c(101)

ger en lite enklare formel för att räkna ut talet:

101(a+c) + 20b - talet:"abc"

exempel:

234:

101*(2+4) + 20*3 - 234 = 606 + 60 - 234 = 666 - 234 = 432

Fan, lite olika trix med olika antal siffror har gett mig ett tillvägagångssätt, som är rätt lätt.. men jag vet inte om det räknas.

Jag visar med en bildjävul:

http://img191.imageshack.us/img191/6023/tvexempel.png

bilddjävulen visar i för sig inte nåt exempel på om det skulle vara ett ojämt antal siiffror i originaltalet och då kan jag bara kommentera att man måste dubbla den enda siffran som står i mitten

Eftersom heltalsdelen av lg N alltid ger antalet siffror i ett tal N, samt att den n:te siffran av talet lätt kan extraheras - så torde följande formel fungera i det allmänna fallet:

└lg N┘
Σ [└ N/10ⁿ┘- 10(└ N/( 10·10ⁿ)┘)]·10^(└lg N┘)/10ⁿ
n=0

Naturligtvis kan man byta ut 10 mot någon annan bas K om det behövs - byt då även lg N mot K:te logaritmen av N.

└ ... ┘ ibland skrivet floor() noterar heltalsdelen av ett decimalbråk, eller resultatet av en heltalsdivision om man så vill.

Hmm, vad jag kom ihåg var den mycket simplare, inga variabler eller så.
Har för mig att det var något speciellt tal som gjorde detta möjligt, typ att man skulle multiplicera med någonting och göra något annat, och detta kunde vända på vilket tal som helst.

Dock vet jag inte om det kanske var mer en algoritm än en funktion.
Var dock väldigt simpelt, så att en högstadieelev kunde förstå det.

Det på min sista bild var rätt så lätt. (Kanske lite mer algoritmaktigt)
Lägg ihop de yttersta siffrorna, sen de näst yttersta, sen de näst-nästyttersta osv.
Varje sådan summa du lagt ihop byter du ut till de positioner där de stog ursprungligen:


Ex:

126124

1+4=5
2+2=4
6+1=7

Nya talet blir:

547745

Ta detta tal minus originaltalet:

+547745
-126124
=421621

Tah Dah! Det omvända, det borde en högstadieelev klara av.


Exempel två:

568:

5+7 = 13

6 står ensamt och får istället adderas med sig själv:
6+6=12

Här nedan följer hur vi adderar ihop tal som består av två siffror (låt entalet lägga sig på korrekt position och låt tiotalet påvärka talet till vänster)

1300
+120
+ 13
1433

och sen ta 1433 - 568 = 865

Det du gör i detta steg är att addera originaltalet med det omvända originaltalet. Det är självklart jätteenkelt att genomföra precis som att vända på ett 6-siffrigt tal är, men försök skriva en generell formel som fungerar på alla tal så blir det lite svårare.

Det du i slutändan bevisar är att:
x + omvänt(x) - x = omvänt(x)
Vilket är ganska uppenbart.

Nej, det är inte det jag bevisar, det är den ekvationen jag utnyttjade när jag härledde min algoritm.
Jag håller med på att det är ganska uppenbart, men fan, det märker väl inte högstadieeleverna som kollar på mjölkpaketet ^^

[quote=Emma18] men försök skriva en generell formel som fungerar på alla tal så blir det lite svårare.[quote]

Jag har ovan skrivit en generell formel.

Det var inte svårt.

Om något är oklart så går det bra att ställa frågor.