gränsvärde

lim x->3^- = (x^2−x−6) / |x−3|

Hur löser jag den här? vad betyder lim x->3^-? jag menar det där minuset

Står det som index betyder det att du närmar dig tre från lägre tal, typ 2,99. Upphöjt i minus har jag inte stött på någon gång.

Täljaren kan faktoriseras till (x+2)(x-3) vilket för att du kan förkorta bort (x-3), tänk på att |x-3|=x-3 eftersom x är positivt.

Tror man kan tillämpa L'hospitals regel också som säger att om Lim x->a=(f(x))/(g(x)) är på formen 0/0 så gäller att Lim x->a=(f(x))/(g(x))=Lim x->a=(f'(x))/(g'(x))

vad blir det för svar då? ;d

det där med L'hospitals regel har jag aldrig hört talas om

Inte jag heller, inte gått igenom det iaf men hörde på FB och det är lättillämpat.

Gjorde lite fel förresten tror jag, |x-3|= x-3 om x>=3 och -(x-3) om x<3. Om nu det var så att det stod 3_-, alltså 3(index)- så blir det att nämnaren blir -(x-3) vilket du ändå kan förkorta bort men det blir kvar -1 i nämnaren.

Jag fick det till -5 men är ny på det här med gränsvärden så är inte 100% säker. Om du har en grafritande miniräknare kan du skriva hela uttrycket på den och kolla vad funktionsvärdet blir för x->3

Okey tack så mkt för hjälpen


Eftersom x<3 så sätter jag -(x+3) detta ger mig -x-3 i nämnaren




(x-3)(x+2)/(-x-3)

Eftersom jag vill förkorta bort gångar jag täljaren med -1 detta ger mig
(-x+3)(-x-2)/((-x-3)

har (-x-2) kvar. sätter in 3an i xet och detta ger -5 då x går mot 3^-


har jag förstått rätt?

Bör vara rätt, men som sagt är jag knappast fullfjädrar på området

Du räknar ju lite slarvigt,
lim x->3^- (x^2−x−6) / |x−3| = lim x->3^- (x^2−x−6) / (3-x) = lim x->3^- (x-3)(x+2)/ (3-x) = lim x->3^- -(x+2) = -5

Men annars var det rätt tänkt!

Det där upphöjda minustecknet betyder att det går mot 3 från den negativa sidan, alltså från vänster. Du kan få olika gränsvärden beroende på om det går från + eller -, (höger eller vänster.)

lim [x→3] = (x²-x-6)/|x-3|
(x = z+3 ⇔ x-3 = z, x→3⁻ ⇔ y→0⁻)
lim [z→0] = ((z+3)²-z-3-6)/|z+3-3|
lim [z→0] = (z²+5z)/±z|1|
lim [z→0] = ±(z+5)/|1|
lim [z→0] = ±(z+5)
lim [z→0] = ±(5)

Viktigt att notera här är att vi egentligen bryter ut ±z ur absolutbeloppet. Eftersom både -z och +z = |z|.

Då vet vi att om vi kommer ifrån 0⁻, så är svaret -5, om vi kommer ifrån 0⁺ så är svaret 5.

Svar:

lim [x→3⁻] = (x²-x-6)/|x-3| = -5

God kväll, jag har ett lite problem med detta gränsvärde:

( ln(sinx) - lnx ) / ( sqrt(1+x^2) - 1 ) när x--> 0.


Hur ska jag göra? Maclaurin utveckling har jag redan försökt med.

( ln(sinx) - lnx ) / ( sqrt(1+x^2) - 1 ) = ln(sinx / x) / ( sqrt(1+x^2) - 1 )
= ln(sinx / x) ( sqrt(1+x^2) + 1 ) / ( (1+x^2) - 1 )
= ln(sinx / x) ( sqrt(1+x^2) + 1 ) / ( (1+x^2) - 1 )
= ln(sinx / x) ( sqrt(1+x^2) + 1 ) / x^2
= ln(1 - x^2/6 + O(x^4)) ( sqrt(1+x^2) + 1 ) / x^2
= (- x^2/6 + O(x^4)) ( sqrt(1+x^2) + 1 ) / x^2
= (- 1/6 + O(x^2)) ( sqrt(1+x^2) + 1 )
-> (- 1/6 + 0) ( sqrt(1+0^2) + 1 ) = (-1/6) * 2 = -1/3

Tack så mycket!