Positionssystem med bas < 1 och/eller bas som inte är heltal

I en tidigare tråd, som jag naturligtvis inte hittade nu, påstods det att i ett positionssystem med basen 1/3 så skulle talet 1/3 uttryckas som 10.

Det ser helt korrekt ut vid första påseende, men vid närmare eftertanke:

Är ett sådant system verkligen möjligt?

Man kan uttolka 10 i ovanstående exempel som 1 * (1/3) + 0 *1, men är den första ettan här verkligen godtagbar som symbol? Basen 1/3 är ju ingen multipel av 1. Vilka tal kan användas i ett tänkt (1/3)-system för att uttrycka antalet (1/3)^n -enheter i position n?


Om man kollar lite på följande sida
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-integer_representation
så framgår det att man kan använda baser > 1 som inte är heltal och det må väl vara hänt att man t.ex. kan använda basen [varför inte?] 1,2 och skriva vårt vanliga decimaltal 1,2 som 10 just i detta system, men hur ska ett godtyckligt reellt tal kunna uttryckas i detta system?

Vad skall man, om det nu är möjligt, använda för enhet, i stället för talet 1, för att stega om man släpper kravet på att basen skall vara heltal?

Ja, ett sådant system blir inte så konstigt. Representationen av ett tal i positionssystemet med bas 1/3 blir bara spegelbilden i decimaltecknet av representationen av samma tal i positionssystemet med bas 3.
Ex. 201,121 (3) = 121,102 (1/3)


Skulle kanske ha läst detta innan jag svarade på första delen...

Om basen b är större än 1 används enligt Wikipediasidan som du länkar till nedan heltalssiffror 0, ..., [b]-1, där [...] betecknar heltalsdelen.

Om basen b ligger mellan 0 och 1 måste man nog ta samma siffror som för 1/b (som ju är större än 1).


Man kör med decimalutvecklingar. Heltal kan i dessa system få oändliga decimalutvecklingar (vilket skulle ge en helt ny vinkling på frågan om 0,999... = 1,000...).

Ok, om jag tänker rätt så kan man, om man inskränker sig till baser i stambråk ( 1/n där n är ett positivt heltal), kanske göra tankeexperimentet att låta våra vanliga talsymboler (0..9) istället symbolisera sina inverser och helt enkelt få en spegelvänd version av talet skrivet i motsvarande bas n.

Får tänka över det hela.

Men i fallet med baser såsom 2^(1/2) så begriper jag inte hur representationen ska gå till i det allmänna fallet. Visst skrivs 2^(1/2) som 10 och 2 som 100, men hur skulle vårt vanliga hederliga 1 framställas? Inga heltal går ju jämnt upp i roten ur 2 och torde därmed inte funka som talsymboler i detta system.

Eller är det bara så att polletten inte trillat ner än? (i dessa tider finns det ju inte längre några n-öringar som kan trilla ner längre)

Som vanligt uttrycker man tal som summor av potenser. Till exempel är 5 ≈ 100000000.01 i basen 1,2. Men det kan också skrivas 5 ≈ 10000010.000000001. Det är bara i baser större än eller lika med 2 som alla tal kan skrivas entydigt.

Det är intressant vad många nollor talen har när basen är nära ett. 2 ≈ 10^115 i basen 1.006 till exempel. Däremot är 165 ≈ 111....111 (114 ettor). Så i baser mindre än 2 kan tal med färre siffror vara större än tal med fler siffror.

Hmm..

0,99... = 1 får mig att fundera på om det finns system med fler representationer av ett reellt tal än två. Kanske något fall med tre eller fyra, eller så.

Kan ett system möjligen konstrueras så att ett tal (kanske möjligen bara i enstaka specialfall) kan ha ett oändligt antal representationer? Ett system där ett tal, trots ett strikt system av regler, så att säga, har en fullständigt godtycklig representation.

Antagligen rent nonsens, men tanken slog mig bara.

Ok. Är det möjligen så att en bas skiljd från ett heltal går bra, men att de tillgängliga siffersymbolerna inskränker sig till 0 och 1?