Linjär algebra: spegling och projektion i plan

Yo!

frågan lyder:

Har gjort det där med projicering och spegling av punkt, men detta fattar jag inget av.

Tack på förhand!

Du kanske menar att du har speglat vektorer innan, för det är ""egentligen"" samma sak som att spegla en punkt, det är nog mer fördelaktigt att se det som att hela vektorn speglas

Projiceringsmatrisen, P, i ℝ³ med avseende på projicering i ett godtyckligt plan. Ges av:

Projiceringsmatrisen:

P = I-n·n^t
Där I är enhetsmatrisen/identitetsmatrisen.
Där n är den normerade normalvektorn till planet.

Matrismultiplikation är det alltså som skall utföras mellan n och n-transponat.

En egenskap för projiceringsmatriser är att P² = P, kan vara bra att veta med tanke på din uppgift.

2x - y + 36z = 0
En normalvektor = (2, -1, 36) = N
n = (1/|N|)·N

Delar man på beloppet av en normalvektor så får man en normerad normalvektor. Kan du lösa det själv nu?

Mvh

Så som jag förstått det så ska jag räkna ut P genom att ta I (som e 1?) subtrahera med n multiplicerat med n^T.

och jag får n till (1/sqrt(1301))*(2,-1,36).

Hur kan jag transponera nåt sånt?

Jag e rätt vilse här, tacksam för all hjälp.

I är inte e₁.

e₁ = (1 0 0) i ℝ³

I är enhetsmatrisen, jag skrev det.

I =
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
i ℝ³.

n·n^t

Detta är matrismultiplikation mellan två vektorer.

Om vi säger att
n =
(1)
(2)
(2)
och är en vektor
så är n^t = (1 2 2)

Tänk på att du måste använda den normerade normalvektorn, så du måste dela med beloppet av vektorn. Eller multiplicera med inversen av beloppet (det är samma sak). Eftersom 5/2 = 5*(1/2)

Dessa två skall du matrismultiplicera med varandra och bilda en 3 x 3 matris. Sedan skall du multiplicera denna matrisen med en skalär, -1, och sedan addera enhetsmatrisen som jag skrev i inlägget ovan. Det kommer ge dig en 3 x 3 matris som är ditt P, alltså projiceringsmatrisen.

nej nej jag menad e som är :P för I blir jue 1, right?

I är inte 1, I är:

I =
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
i ℝ³, och vi är ju i ℝ³ nu.

Jag får nu: enligt matlab (om jag slagit rätt dvs.)

n =

[0.0554] [-0.0277] [0.9981]

n'

ans =

[ 0.0554]
[-0.0277]
[ 0.9981]

DVS.

(1 0 0)
P=(0 1 0)-n*n'
(0 0 1)

bör ge mig P som är projiceringsmatrisen.
Sen sa du nåt om skalär, förstod inte riktigt vad gör jag efter detta?

Du behöver inte, och bör inte använda mathlab för att beräkna uppgiften. Jag kan räkna den istället.

En normalvektor till planet är:
(2, -1, 36) = N

Beräknar normerade normalvektorn:

√(2²+1+36²) = √1301 = |N|
(1/√1301)(N) = n

Som är en normerad normalvektor till planet. Inversen av absolutbeloppet, som är här (1/√1301) är alltså en skalär till N. Nu beräknar vi då n*n^t.

Matrismultiplikation mellan normerade normalvektorn och dess transponat:

( 2)
(-1)*(2 -1 36)(1/√1301)(1/√1301) =
(36)

( 4 -2 72 )
( -2 1 -36) (1/√1301)²
(72 -36 36²)

Vi får ju heller inte glömma som sagt det som gör att vektorerna blir normerade, det är dessa två som är skalärerna. Dessa två är ju lika, så de blir i kvadrat.
(1/√1301)² = 1/1301

P =
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
( 4 -2 72 )
-( -2 1 -36) (1/1301)
(72 -36 36²)

Då kan vi bryta ut 1/1301, blir jobbigt att räkna med annars:

P =
(1/1301)
[(1301 0 0) ( 4 -2 72 ) ]
[(0 1301 0) -( -2 1 -36) ]
[(0 0 1301) (72 -36 36²)]

Fortsätter att addera ihop matriserna:

P =
(1297 2 -72)
(2 1300 36) * (1/1301)
(-72 36 5)

Jag tar tillbaka det där jag sa om mathlab igen. Eftersom det är så skumma siffror så är nog ett program bäst ändå. Men här är matrisen för projektionen i alla fall. Upphöj nu den med 10 så har du ditt svar.

Har läst igenom vad du skrivit BengtZz, och försöker klura ut hur du har gjort. Är det samma sak som att projicera standardbas-vektorerna (e1, e2, e3) på planet för att få ut standardmatrisen A?

proj(planet)e1 = e1 - proj(n)e1
proj(planet)e2 = e2 - proj(n)e2
proj(planet)e3 = e3 - proj(n)e3

och sen sätta in dessa som kolumner i en 3x3-matris?

Om detta fungerar borde speglingen i planet då bli den negativa projiceringen av standardbas-vektorerna på normalen?

Spegling(planet)e1 = -proj(n)e1
Spegling(planet)e2 = -proj(n)e2
Spegling(planet)e3 = -proj(n)e3

och dessa vektorer som kolumner i en 3x3-matris?

Nej det är inte samma sak. Men så kan man till exempel göra i ditt fall i fall man vill konstruera en godtycklig matris som beskriver en linjär avbildning. Tex om du skall konstruera rotationsmatriser i ℝ²

Problemet är här att hur du än gör här, så måste du veta projiceringen innan du börjar. Vet du projiceringen så är ju spegling inte så svårt att plocka fram. Så jag tror inte det fungerar, annars är ju spegling i med avseende på planet två stycken projiceringar subtraherat den vektorn du speglar.

Alltså (2P-I) = Speglingsmatrisen.