Vid vilket x finns största arean?

Halloj!

Sitter med en lite klurig matteuppgift. Uppgiften lyder:

Tänkte om man då deriverar funktionen och får -e^-x, då vet man att det är höjden på triangeln beroende på x (?). Längden är då x. Då har man fått fram funktionen:

f(x)=h*b/2=(-e^-x * x)/2 = -xe^-x / 2

f'(x)=(x-1)e^-x / 2 = 0 -> x=1

Om man då kör f'(x) och sätter det till 0 får man tillslut fram att x måste vara 1. Om man då gör ett teckenstudium på derivatan får man att det är en minpunkt, vilket det sannerligen inte borde vara.

Vad har jag gjort för fel? Har jag ens tänkt rätt?

Tydligen är x=1 en maxpunkt. Så i den mån verkar det stämma. Jag frågade min mattelärare om denna uppgift eftersom jag trodde jag fått en minpunkt. Han sa då att detta verkade vara ett "lite för lätt" för lösa uppgiften på
. Han gick då in på en annan metod. Men stämmer det jag kom fram till?

Tror du fått fel på din funktion, om du tar ett x så är det inte bredden och -e^-x är inte höjden, bredden och höjden är där din linje skär axlarna

Inser det nu också :/

Ska jag tänka något i stil med att få fram ett k värde för olika värden på x?

k=dy/dx= - (e^-x / x)

Den linjen skär y axeln i: y=kx+m = e^-x= - (e^-x / x)x + m -> m= 2e^-x

-> y= - (e^-x / x)x + 2e^-x = -e^-x + 2e^-x = e^-x

Om jag sedan vill veta var denna skär x axeln, sätter jag ju y=0 -> 0=e^-x <-> ln 0 = -x -> x= -ln 0

Men ln 0 är ju inte definierat. Vad har jag gjort galet?

Uppgiften löd som vi sa, orkar inte skriva den igen. Det fina med uppgiften är att vi skall hitta en funktion som beskriver hur tangenten ter sig där den skär x-axeln (basen) och där den skär y-axeln (höjden), har vi basen och höjden kan vi lätt finna arean för triangeln som denna tangent bildar. Deriverar vi denna funktionen och finner när x är lika med noll så är vi i hamn så att säga.

f(x) = e^−x
f'(x) = -e^-x = k_t

k_t är riktningskoefficienten för tangenten i en godtycklig punkt x≥0.

Räta linjens ekvation för tangenten till f(x):

y = k_t*x+m

Vi kan kalla punkten där tangenten tangerar linjen för:

(x,y) = (t, e^(-t))

jag bara väljer t för att välja något att substituera med.

En annan punkt på den räta linjen måste vara (0,m), där då m blir höjden, eftersom alla räta linjer skär y-axeln i punkten (0,m). Vi vet vad k_t är, och vi vet en alternativ formel för k_t, nämligen skillnaden genom y genom skillnaden i x som man skriver då Δy/Δx.

Löser ekvationen för riktningskoefficienten k_t med avseende på skärningspunkt i y-axel:

Punkten: (t, e^(-t))
Punkten: (0,m)
Δy/Δx = k_t
(e^(-t)-m)/(t-0) = -e^-t

Vi vet ju också att m och t är positiva, eftersom tangenten kommer skära i ett positivt m, annars har vi negativ höjd. Samt att x var positivt.

Förenklar:

(e^(-t)-m)/(t) = -e^-t
e^(-t)-m = (-e^-t)*t
-m = (-e^-t)*t-e^(-t)
m = t*e^(-t)+e^(-t)

m-värdet är ju höjden av triangeln. Detta är vi med på inte sant?

Löser ekvationen för riktningskoefficienten k_t med avseende på skärningspunkt i x-axel:

Punkten: (a,0)
Punkten: (t, e^(-t))
Δy/Δx = k_t
(e^(-t)-0)/(t-a) = -e^-t
-1 = t-a
-1-t = -a
1+t = a

a-värdet är ju basen.

En funktion för att uttrycka arean i en triangel är ju basen gånger höjden genom 2.

Triangelns area uttryckt som en funktion av t:

A(t) = (1+t)(t*e^-t+e^-t)/2
A(t) = (1+t)(1+t)(e^-t)/2
A(t) = (1/2)(e^-t)(1+t)²

Här har jag ju då tagit basen, uttryckt med t, och höjden uttryckt med t, gångat med varandra och delat med 2. Det är då arean på en triangel, denna arean beror då av t. t är alltså x-värdet på den punkt vi väljer att tangenten skall tangera.

Deriverar vi skiten:

A(t) = (1/2)(e^-t)(1+t)²
A'(t) = (1/2)((-e^-t)(1+t)²+2(e^-t)(1+t))
A'(t) = (1/2)(-e^-t)(1+t)²+(e^-t)(1+t)

Derivatan av funktionen som beskriver höjden.

Ansätter lika med noll och löser:

(1/2)(-e^-t)(1+t)²+(e^-t)(1+t) = 0
(1/2)(-e^-t)(1+t) = -(e^-t)
(-e^-t)(1+t) = 2(-e^-t)
(1+t) = 2
t = 1

Notera att jag löser konstigt men det gör inget, eftersom t skulle vara större än noll ändå, då jag har använt t som ett värde på x. Den andra lösningen är ointressant ändå.

Arean är som störst när t är lika med 1.

Areans funktion:

A(t) = (1+t)(t*e^-t+e^-t)/2
A(1) = (1+1)(e^-1+e^-1)/2
A(1) = (e^-1+e^-1)
A(1) = (2e^-1)
A(1) = 2/e

Arean som tangenten bildar är som störst när vi använder tangenten i x = 1. Arean blir då 2/e.

Svar:

2/e är största möjliga area

Jävligt snyggt gjort! Är så självklart när man får det förklarat för sig. Men var ändå inne på rätt spår i början

Tack så mycket!

Nej du har tänkt fel, derivatan är inte höjden.

Derivatan är k-värdet för alla punkter x i f.