Stämmer mina ekvivalenspåståenden? (Endimensionell analys)

Hejsan, har fått en redovisningsuppgift som för mig verkar relativt lätt. Dock blir jag osäker ifall mina ekvivalensfall stämmer. Min uppgift är att visa att följande tre påståenden är ekvivalenta.

Triangeln i figuren har sidolängderna a, a och b. Visa att följande tre påståenden är ekvivalenta.
1: Den streckade linjen är bisektris till toppvinkeln
2: Den streckade linjen skär basen b på mitten.
3: den streckade linjen är en höjd, d.v.s. vinkeln α är rät.
http://www.imagehost.se/images/58zzyfia5.jpg <---- BILD, den är inte skalenlig eller gjord med rätt vinklar, den ska bara visa hur det ser ut på ett ungefär.

Såhär tänkte jag:
1->2
Om två sidor i en triangel är lika långa så är motstående vinklar lika stora. (Enl. sats)
Om bisektrisen delar upp triangeln i två mindre med samma vinklar, (alfa och beta) betyder det att även den tredje och sista vinkeln är gemensam (i vardera uppdelad triangel.)
Alltså är trianglarna kongruenta, sidan b är alltså uppdelad i två lika stora delar (delad på mitten.)
Kongruensfall (VSV)
2->1
Likbent triangel ger att de motstående vinklarna är lika stora, och om då basen är skuren på mitten så har vi kongruensfall SVS, sida vinkel sida. Kongruenta trianglar ger att toppvinklarna är lika stora, alltså är den streckade linjen en bisektris.
3->1
Vinkeln alfa är rät. Om vi delar upp triangeln i två mindre trianglar så får vi att 2 av vinklarna i de mindre trianglarna är lika. Alltså måste även den tredje och sista vinkeln vara lika stora, vilket leder till att den streckade linjen är en bisektris.
1->3
Igen har vi att två av vinklarna är lika i de mindre uppdelade trianglarna. Trianglarna är kongruenta av, VSV, vinkel-sida-vinkel. Alltså är de sista vinklarna lika stora, och vi har 180°/2 = 90° = rätvinkliga.

2->3
Likbent triangel ger motstående vinklar är lika stora. Vi har ett kongruensfall tack vare SVS, sida-vinkel-sida. Samma igen: 180°/2 = 90° = rätvinkliga.
3->2
Den här har jag inte riktigt förstått mig på, hur ska jag visa ekvivalensfallet här? Snälla hjälp.

Vore jättesnällt om någon tar sig tid att titta igenom detta och ser ifall det ser rätt och riktigt ut Tack på förhand.

Ett tips: I stället för att visa 6 implikationer räcker det att visa 3: 1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 1.

När det finns fler påståenden är det inte alltid enklast att visa cykliskt. Har ett fall i en bok med 11 påståenden som visas vara ekvivalenta. Dessa visas så här:
2 -> 3
9 -> 3
3 -> 4
4 -> 5
5 -> 6
6 -> 7
7 -> 1
1 -> 2
4 -> 11
11 -> 10
10 -> 2
7 -> 8
8 -> 6
1 -> 9
Du kan pröva att själv verifiera att varje påstående kan nås från vilket annat som helst genom en kedja av implikationer.

Du menar väl inte att jag kan visa 3 implikationer bara? Jag ska ju visa 3 st ekvivalenser, och det är ju 6 st implikationer. 1->3 + 3->1 = 1<->3
Eller har jag förstått fel?

Jo, det räcker att visa tre implikationer: 1 -> 2, 2 -> 3 och 3 -> 1.
Eftersom implikation är transitiv, får vi t.ex. från 1 -> 2 och 2 -> 3 att 1 -> 3, vilket tillsammans med 3 -> 1 ger att 1 <-> 3.

Antag att du har 10 påståenden du vill visa är ekvivalenta. Om du skall visa varje ekvivalens m <-> n genom att visa m -> n och n -> m, måste du utföra 90 delbevis. Om du bara visar cykliskt, d.v.s. 1 -> 2, 2 -> 3, ..., 10 -> 1, så behöver du bara utföra 10 delbevis.

I exemplet med 11 påståenden räckte det för författaren att visa 14 implikationer i stället för 110 st.

Jaha då förstår jag! Tack så mycket. Har du haft tid att titta på mina bevis då?

Tack! Jag redovisade uppgiften idag och använde mig utav din cykliska metod för att bevisa ekvivalensen mellan talen. Fungerade perfekt och läraren/professorn var nöjd! Tusen tack, blev ju väldigt mycket smidigare så.