*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Sitter och repeterar gränsvärde inför kommande ingenjörskurs och har fastnat på följande:
Lim (1-e^3x)/2x , där x går mot 0.

Hur löser man ∫xln(x)/(1 + x²)²dx? Jag kan inte komma på ett lämpligt variabelbyte och partialintegration verkar knepigt.

x/(1 + x²)² = D{(-1/2)/(1 + x²)}

∫ x ln(x)/(1 + x²)² dx = (-1/2) ∫ ln(x) D{1/(1 + x²)} dx
= (-1/2) ln(x) 1/(1 + x²) - (-1/2) ∫ (1/x) 1/(1 + x²) dx

Den nya integralen kan beräknas genom partialbråksuppdelning:
(1/x) 1/(1 + x²) = A/x + (Bx+C)/(1 + x²)

Tack, jag uppskattar all hjälp.

Tänk på att lim (e^(ax) - 1)/x ger derivatan av e^(ax) i x = 0, alltså a.

Betrakta den linjära avbildning, som ges av spegling i linjen (x, y) = t(1,2). Projektionen av vektorn u = (x, y) på linjen är, enligt ett föregående exempel,

u' = (1/5)·(x+2y, 2x+4y).

Projektionen på linjens normalvektor är

u'' = u - u',

varför speglingen av u = (x, y) i linjen är

u - 2u'' = u - 2(u - u') = 2u' - u = (2/5)·(x+2y, 2x+4y) - (x, y)

= (1/5)·(-3x+4y, 4x+3y), &c.

Vad jag inte förstår är hur (2/5)·(x+2y, 2x+4y) - (x, y) blir (1/5)·(-3x+4y, 4x+3y).

Jag är medveten om att 2/5*(x+2y, 2x+4y) kan skrivas som (1/5)·(2x+4y, 4x+8y) men hur subtraherar man (x, y) från detta?

Efter ett läsetal där man inledningsvis ska ställa upp en differentialekvation har jag fått f'(t) = c - k(f(t)^2) där f(0) = 0. I facit står det att den här ska vara en lösbar separabel ekvation. Mina frågor: Hur kan den vara separabel? Och hur löser jag den? Tack på förhand!

(2/5)·(x+2y, 2x+4y) - (x, y) = ((2/5)x+(4/5)y, (4/5)x+(8/5)y) - ((5/5)x, (5/5)y)
= ((2/5)x+(4/5)y-(5/5)x, (4/5)x+(8/5)y-(5/5)y)
= ((-3/5)x+(4/5)y, (4/5)x+(3/5)y)
= (1/5) (-3x+4y, 4x+3y)

∫ f'(t)/(c - kf(t)²) dt = ∫ dt

Om vi sätter y = f(t) kan vi skriva vänsterledet som ∫ 1/(c - ky²) dy.

Här kan vi använda partialbråksuppdelning:
1/(c - ky²) = A/(√c - √k y) + B/(√c + √k y)

Bestäm A och B så att partialbråksuppdelningen stämmer.
Beräkna sedan integralerna.
Lös ut f(t) = y.
Avsluta med att sätta f(0) = 0 och bestämma integrationskonstanten.

Tjena!

Håller på med denna uppgift:

http://imgur.com/xHuk86A

Jag har svårt att veta hur jag ska börja på dessa uppgifter, speciellt hur man ritar ut.

Jag vet att |z| = 2 är avståndet från origo till punkten 2. Och då tänker jag mig en cirkel. Och sen på b har vi z + z*konjugat* = 2. Men hur räknar jag ut det då? även c och d gör mig förvirrad. Uppskattar speciellt hjälp på D där!

Tack på förhand!

/Shawn

Tack så mycket.

Jag gjorde ett försök och räknade rätt, men jag får teckenfel när jag använder p(u) = u - u'.

p(u) = u - u'

u = (x,y,z)
u' = (1/6)·(x+2y+z, 2x+4y+2z, x+2y+z)

u - u' = (x,y,z) - ((1/6)·(x+2y+z, 2x+4y+2z, x+2y+z))

((6/6)x, (6/6)y, (6/6)z) - ((1/6)x+(2/6)y+(1/6)z, (2/6)x+(4/6)y+(2/6)z, (1/6)x+(2/6)y+(1/6)z)
= ...
= (1/6)(5x + 2y +z, 2x + 2y + 2z, x +2y +5z), vilket ger matrisen:

1/6·(5 2 1)
----(2 2 2)
----(1 2 5).

Svaret ska enligt facit bli

1/6 ·(5 -2 -1)
-----(-2 2 -2)
-----(-1 -2 5)

Har jag använt p(u) = u - u' i fel ordning?

a) |z-a|=R är en cirkel med mittpunkt i a och radie R.

Här har vi att a är 0 och R=2. Alltså en cirkel med mittpunkt i origo och radie 2.

b) Sätt z=a+bi då får z(konjugat)=a-bi och z+z(konjugat)=a+bi+a-bi

Då får vi
a+bi+a-bi=2
2a=2
a=1

Dvs detta beskriver alla komplexa tal z som har Re(z)=1, vilket är en lodrät linje genom 1 på reella axenln.

c) Samma sak här. Ansätt z=a+bi , z(konjugat)=a-bi

i *z(konjugat)=ia+b

z+i *z(konjugat)=a+bi+ia+b

Re(a+bi+ia+b)=a+b

där a = Re(z) och b=Im(z)

Alltså får vi Re(z)+Im(z)=1

Im(z)=1-Re(z) vilket är en rät linje i det komplexa talplanet med m=1 och k=-1

d) Skriv om som |z-(1+i)|=2 vilket är en cirkel med mittpunkt i -1+i och med radie 2.