*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Skulle behöva lite hjälp med den här uppgiften: Använd Maclaurinutvecklingen med restterm i Lagranges form för att approximera ∫sinx/x dx från 0 till 1, med ett rationellt tal så att felet är mindre än 10^(-4)

Ugh, kollade på mitt gamla problem. Det ska vara -17y.

Behöver lite hjälp med flervariabelanalys om någon kan.


Hitta om funktionen har lokal maxima eller minima, ange även övriga stationära punkter.
f(x,y) = (x^2 + y^2 -4)*e^(-x -y).

Jag tror du ska börja med att partialdifferentiera med avseende på x och y. Sedan så sätter du f(x,y)_x=0 och f(x,y)_y=0. Sätt sedan in dessa värden i originalfunktionen för att få max och min. Eftersom funktionen inte är definerad på något område (isåfall så skulle du behöva kolla dess rand och hörn) så bör nog det räcka.

Det var det jag gjorde, får till att x = y, men sen står det i facit att det endast ska vara lok. min.(-1,-1) och (2,2) är stationär punkt.

Låt Rₐ(x) beteckna Lagranges feltermen för Maclaurinutvecklingen av sin(x) av ordning a. Då kan beloppet av feltermen tecknas

| Rₐ(x) | = | sin⁽²ᵃ⁺¹⁾(ξ) · x⁽²ᵃ⁺¹⁾/(2a+1)! | ≤ | x⁽²ᵃ⁺¹⁾/(2a+1)! |

Integrering av Rₐ(x)/x på intervallet [0,1] ger

∫|Rₐ(x)/x|dx = 1/(2a+1)! · 1/(2a+1)

Testa nu a = 1, 2, ..., n tills följande olikhet är sann för detta n

1/(2n+1)! · 1/(2n+1) < 10⁻⁴

Efter detta tecknar du Maclaurinpolynomet för sinx/x av grad n och integrerar polynomet termvis och evaluerar på [0,1].

Ja så blir det i princip, konstanttermen undantagen givetvis.

Tack för svar! Är dålig på resttermen och behöver förstå det lite bättre. Vet att man sätter in det högsta värdet man har i sitt intervall(man får alltid intervall) men är inte helt säker på om man sätter in det istället för x eller något annat. Sen i det här fallet, varför har man sin upphöjt till (2a+1)? Är med på att det ska vara (2a+1) för det är bara udda exponenter i maclaurinutvecklingen av sinx men inte varför man har sinx som bas där, man har väl att sin x = termer + x^(2a+1)/(2a+1)! eller något sådant?


Okej grymt tack då vet jag och förstår sådana uppgifter!

Om du har funktionen f(x) och vill evaluera den i x = a, ges felet alltså av R(a), där R(x) ges av Lagranges restterm. R(a) innehåller en parameter ξ ∈ [0,a], denna parameter ξ ligger alltså i ett intervall. Värdet du använder som x-argument för feltermen varierar inte, däremot gör parametern ξ det, som beror av x s.a. ξ = ξ(x). Denna parameter kan man generellt sett inte erhålla explicit utan därför gör man en övre uppskattning av felet genom att välja det ξ som ger maximalt värde för feltermen.

Om du tittar på Lagranges restterm som jag länkade ovan ser du att resttermen för Maclaurinutvecklingen av grad n beror på den n+1:te derivatan av funktionen, det är som argument för denna derivata som parametern ξ används. Det är härifrån faktorn sin⁽²ᵃ⁺¹⁾(ξ) kommer.

EDIT: Kanske blev lite förvirrande kring notationen. I termen sin⁽²ᵃ⁺¹⁾(ξ) är 2a+1 inte en exponent utan anger antalet gånger man deriverar sinus-funktionen. (Om man har ett superscript på en funktionen i parentes är det konvention att detta betecknar antalet gånger funktionen skall deriveras och anger alltså inte en exponent.)

Bryt ut så mycket som möjligt: 8ax2 - 30x

Någon som kan hjälpa mig? Förstår inte hur svaret kan bli 2x (4ax-15)

8ax² = 2 · 2 · 2 · a · x · x

30x = 2 · 3 · 5 · x

Gemensamma faktorer är 2x.

<3 Tänkte inte på att det bara var 1 A, nu hänger allt ihop. Tack så mycket!