*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Antar att K är ett reellt tal då vi arbetar med en riktig, vanlig regulator.

Som vanligt för en envariabel funktion, derivera och så vidare. Vi tittar i intervallet 0 ≤ v ≤ 2π.

g(v) = 4cos(v) - 2sin(v) + 4
g'(v) = -4sin(v) - 2cos(v) = 0 ⇔ sin(v)/cos(v) = -1/2 ⇔ tan(v) = -1/2

Detta ger v = arctan(-1/2) + π·k = -arctan(1/2) + π·k och lösningar innanför intervallet 0 ≤ v ≤ 2π då k = 1, 2. Kandidater ges även av randpunkterna.

v = 0: g(0) = 4 - 0 + 4 = 8
v = 2π: g(2π) = 4 - 0 + 4 = 8

v = -arctan(1/2) + π : g(-arctan(1/2) + π) = ... = 4 - 2√5
v = -arctan(1/2) + 2π: g(-arctan(1/2) + 2π) = ... = 4 + 2√5

Där har du dina kandidater som hittades vid genomsökning av randen. Alternativ till derivering är att använda hjälpvinkelomskrivning.

g(v) = 4cos(v) - 2sin(v) + 4 = C·sin(v + φ) + 4

C = √(4² + (-2)²) = √(16 + 4) = √20 = √(4·5) = 2√5

Vinkeln φ ges av en lösning till ekvationen:

cos(φ) = -2/C = -2/(2√5) = -1/√5
sin(φ) = 4/C = 4/(2√5) = 2/√5

Genom tan(φ) = sin(φ)/cos(φ) = -2 och vetskap om att φ ligger i tredje kvadranten ges denna hjälpvinkel av φ = arctan(-2) + π = -arctan(2) + π = π - arctan(2). Därmed:

g(v) = 2√5·sin(v + π - arctan(2)) + 4

Och denna är väldigt lätt att läsa av kandidaterna till minimum och maximum ur.

Ok, då tror jag att jag är med. Men jag har två frågor, varför är parametriseringen 2cosx och 2sinx och vad är x och vad är y i 4 - 2√5 och 4 + 2√5? Med andra ord, vart i f(x,y) ges 4 - 2√5 och 4 + 2√5? g(v) har ju endast en variabel.

1. Standardparametrisering av en cirkel. För en cirkel med radie r och mittpunkt i (0, 0):

x = r·cos(v)
y = r·sin(v)

I det här fallet är r = 2 då cirkelns radie är just 2.

2. En punkt (x,y), alltså i kartesiska koordinater, ges från parametriseringen med en vinkel v ges av (x,y) = (2·cos(v), 2·sin(v)).

Så man får alltså att genom att sätta in värdet för standardparametriseringen i originalfunktionen värdet på dom möjliga max och min på randen. Hörnen behöver jag inte kolla eftersom det inte finns i en cirkel. Men hur skulle jag göra om jag skulle vilja veta i vilken punkt den antar högsta och minsta värde? Alltså där (x,y)= 4 + 2√5 eller 4 - 2√5 ?

Hur löser man dessa ekvationer?

2x-1/3=x-2/4+1



8t2-4t3=0

Bestäm det största möjliga värde som funktionen z = 2x + 3y kan anta för de värden som ges
av följande system av olikheter: {
x och y ≥ 0
y +x ≤ 5
x ≤ 3

Vilken nivå ligger du på? Går att lösa systematiskt genom att undersöka ränderna var för sig (där maximum kommer att antas för en linjär målfunktion). Annars kan man lätt se här att vi vill göra y så stor som möjligt (positiv och störst koefficient framför sig). Om vi tittar på begränsningarna:

x, y ≥ 0
y + x ≤ 5
x ≤ 3

Så är y = 5 det största möjliga värdet för y. Detta innebär att x = 0 vilket uppfyller de övriga villkoren och maximum antas alltså i (x, y) = (0, 5) där z = 15.