Citat:
Ursprungligen postat av
mazin95
Hej, kan någon själ snälla hjälpa mig med dessa uppgifter, linjär algebra.
Låt L vara linjen genom A=(3,5,5) och B=(4,5,7). Planet II ges av ekvationen x+y+z-7=0.
a)Bestäm skärningen Q mellan L och II.
b)Bestäm vektorn u där QA=u+n, där n är någon (nollskild) normalvektor till II, och vinkelrät med u.
(Jag kunde inte rita en pol över vektorerna, så jag skrev de istället som fetstilta.)
c)Bestäm en ekvation för planet som innehåller A och B, och är vinkelrät mot II.
Jag skulle gråta av glädje om jag fick hjälp, vi har försökt jag och mina kursare men förgäves, dessa ska vara klara till måndagens seminarium. Tack på förhand!
Vi börjar med att ta fram linjen L. Riktnignsvektor mellan punkterna:
v = (4, 5, 7) - (3, 5, 5) = (1, 0, 2)
Vi kan alltså skriva linjen på formen:
(x, y, z) = (3, 5, 5) + t·(1, 0, 2)
När skär linjen planet? In med linjens koordinater i planets:
x + y + z - 7 = 0 ⇔ (3 + t) + (5 + 0t) + (5 + 2t) = 7
Denna ekvation har lösningen t = -2. In med detta i linjens ekvation så får du fram skärningspunkten Q som eftersöks. Nu när du sedan har Q, dra en vektor från Q till A så du får
QA. Projicera denna i normalens riktning, alltså (1, 1, 1) vilket ger dig
n. Till sist får du att
u =
QA -
n och du kan skriva
QA som
QA =
n +
u.
För den sista, använd vektorn mellan A och B som det nya planet måste innehålla. Förutom denna vektor måste även det nya planet innehålla normalen till det "gamla" planet. Därigenom kan du få fram normalvektorn till det nya planet genom att använda kryssprodukten.
