Lös ekvationen & Faktorisera polynomen

Tja, jag behöver hjälp med 2st uppgifter.

1. Lös ekvationen: 4x + √(3-2x) = 3

2. Faktorisera polynomen
P(x) = 4x³ + 12x² + 5x – 6
Q(x) = 4x³ + 12x² + 5x – 21


Skulle vara mycket tacksam för hjälp då jag inte vet hur jag går till väga.

1. Sätt √(3-2x=3-4x och höj sedan upp båda leden i 2. Då du gjort det flyttar du över allt på en sida och har en vanlig andragradsekvation du kan lösa på valfritt sätt.

2. Eftersom det enbart finns otympliga lösningsmetoder för tredje- och fjärdegradspolynom så ansätter, gissar man ett värde på x. Jag brukar börja med 1 eller -1 och jobba mej upp till 3 resp. -3. jag gissar inte på alla värden mellan här, t.ex. 2.17, utan jobbar mig framåt i halva steg om det är rätt uttryckt.

Exempel på x du kan ansätta: -3, -2.5, -2, -1.5, -1. -0,5, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 och 3.
Efter som alla termer i polynomet inte innehåller x så är x=0 inte en lösning och behöver därför inte ansättas

EDIT: Efter att du har fått fram en rot, ett x-värde som ger dig p(x)=0 gör du polynomdivision för att få fram ett andragradsuttryck som du löser med valfri metod

Se om jag förstått det rätt.

√(3-2x) = 3-4x

√(3-2x)²= (3-4x)²
3-2 = 9 - 24x + 16x²

0 = 6 - 22x + 16x²
-6 = 16x² - 22x
x=1 => 6+16-22 = 0

Någonstans gör jag fel för om x=1 så blir ursprungsekvationen 4 + √1 = 5, istället för 3.

1. Kvadrerar till man är utan rotuttryck, löser ekvationen och prövar rötterna, endast en, eller ingen, utav rötterna kan stämma efter kvadreringar. En andragradsekvation har ju tex två rötter men en rotekvation har endast en. Enligt exemplet här:
https://www.flashback.org/sp25345546

2. Polynomet P(x):

P(x) = 4x³+12x²+5x–6

Prövar olika nollställen till polynomet:

P(-1) = -4+12-5-6 = -3
P(-1) är ganska nära noll, antagligen mellan -1 och 1, fast skiljt från noll.

Prövar ett annat värde på x, enligt rationella rotsatsen, se: http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

Prövar:

P(-6/4) = P(-3/2) = 4(-27/8)+12(9/4)+5(-3/2)–6 = -27/2+54/2-15/2-12/2 = (-27+54-15-12)/2 = 0/2
P(-3/2) = 0

Enligt faktorsatsen vet vi nu att (x+3/2) = (2x+3) är en delare till P(x) och kan således reduceras med polynomdivision utan att det blir en rest.

(4x³+12x²+5x–6)/(2x+3) = 2x²+3x-2

2x²+3x-2
⇔
x₁ = -2
x₂ = 1/2

Enligt faktorsatsen är då:

x²+3x/2-1 = (x+2)(x-1/2)

Då är:

P(x) = 4(x+2)(x-1/2)(x+3/2) = 4(x+2)(2x-1)(2x+3)

Svar: P(x) = 4(x+2)(2x-1)(2x+3)

√(3-2x) ^2 blir väl 3 - 2x, istället för bara 3-2. Prova det

Utvecklar:

√(3-2x) = 3-4x ⇒
3-2x = 9-24x+16x² ⇔
16x²-22x+6 = 0
⇔
x₁ = 1
x₂ = 3/8

Prövar lösning 3/8:

√(3-2(3/8)) = 3-4(3/8) ⇔
√(12/4-(3/4)) = 6/2-3/2 ⇔
√(9/4) = 3/2
3/2 = 3/2

Det stämmer, 3/8 är en lösning till rotekvationen, då är x₁ inte en lösning, eftersom endast en lösning kan gälla.

Svar: x = 3/8

Hur avgör du hur många lösningar ekvationen har?

Rotfunktionen är injektiv över ℝ⁺, det är också f(x) = x.

Eftersom endast dessa funktioner av x fanns med i rotekvationen finns det bara en lösning till ekvationen eller ingen, eftersom rotfunktionen endast är definierad för ℝ⁺.

Menar du att exempelvis √(3-2x) = 2-(4/3)x - som är på samma form som ekvationen i tråden - inte har mer än en lösning?

Tack för hjälpen. Har dock fastnat på Q(x) = 4x³ + 12x² + 5x – 21

Jag har provat olika värden och endast hittat att q(x)=0 då x=1
Men jag måste göra något fel då jag gör polynomdivisionen, svaret jag får ger inte att det blir noll då x=1.

4x² + 16x + 21
________________________
4x³ + 12x² + 5x – 21 │ x-1
4x³ - 4x²
.........16x² + 5x
.........16x² - 16x
.........16x² + 21x
...................21x- 21
..........................0

Jag förstår inte var jag gör fel, men jag ser ju att det uppenbarligen är fel.

Jag kan på rak arm inte se att du har gjort något fel. Polynomet q(x) = 4x³ + 12x² + 5x – 21 = (x - 1) (4x² + 16x + 21) där den sista faktorn endast har komplexa nollställen.

Så du menar att inget reellt tal kan göra så allt det där blir noll?
Själva uppgiften lyder "Faktorisera polynomen så långt som möjligt i reella faktorer" nämligen. Betyder det att det är rätt så som det är nu?