Tråden om Abels transformation [partiell summation]

En summa är ett uttryck på formen

M
∑ a(n) = a(0) + a(1) + a(2) + ... + a(M)
n=0

Tecknet ∑ kallas för summatecken.

Den allmänna termen a(n) är en funktion av en heltalsvariabel n, t ex a(n)=1/n². Summationsindexet n är ett heltal som löper igenom indexmängden I={0 ... M}. Om indexmängden är oändlig skall termen serie användas istället för summa.

Övningar & Exempel för summor och serier:

Exempel 1.

Indexmängden till summan

17
∑ n⁷ = (-16)⁷+(-15)⁷+...+(16)⁷+(17)⁷
n=-16

är I={-16...17}, dvs. summationsindex n löper från -16 till 17 genom alla heltal däremellan (inklusive 0 i detta fall).

Den allmänna termen är i detta fall a(n) = n⁷.

Alla termer tar ut varandra utom den sista. Summan är därför lika med 17⁷.


Övning 1.

a) Ange indexmängden i summan

1337
∑ n³ = (-1336)³ + (-1335)³ + (-1334)³ + ... + (-1)³ + 0 + 1³ + ... + (1335)³ + (1336)³ + (1337)³
n=-1336

b) Hur många termer innehåller summan?

c) Vad blir summan?


Övning 2.

En teleskopsumma är en summa vars allmänna term kan skrivas på formen a(n) = u(n) - u(n-1). Den kan skrivas på sluten form eftersom

M
∑ [u(n) - u(n-1)] = (u(M) - u(M-1)) + (u(M-1) - u(M-2)) + ... + (u(2) - u(1)) + (u(1) - u(0)) = u(M) - u(0)
n=0

Vi ser nu på härledningen anledningen till namnet teleskopsumma.

Nedan är ett exempel på en teleskopsumma

10
∑ 1/(n²+n) = 1/(1²+1) + 1/(2²+2) + 1/(3²+3) + ... 1/(10²+10)
n=1

Visa att det är en teleskopsumma och beräkna dess numeriska värde.

Ledning: faktorisera nämnaren och tänk på bråk.


Exempel 2.

För den geometriska summan gäller

a
∑ xⁿ = 1 + x + x² + ... xª = (1-xª⁺¹)/(1-x) om x≠1 annars a om x=1
n=0

Vilket ses genom följande resonemang:

Låt s(a) = 1 + x + x² + ... xª

Multiplicera in x

xs(a) = x + x³ + x³ + ... xª⁺¹

Nu är

s(a)-xs(a) = s(a)(1-x) = 1-xª⁺¹ ↔ s(a) = (1-xª⁺¹)/(1-x)


Övning 3.

a) Beräkna

7
∑ 2ⁿ
n=0

och ange resultatet på binär form.

b) Beräkna

3
∑ 16ⁿ
n=0

och ange resultatet på hexadecimal form.

c) Beräkna

4
∑ 1/2ⁿ
n=0

och

10
∑ 1/2ⁿ
n=0

Vilket tal närmar sig summan om man tar med riktigt många termer, tex 1000 istället för 9?


Övning 4.

Serier är som sagt summor med ett oändligt antal termer.

Ett villkor för att en serie ska ha en ändlig summa är att den allmänna termen a(n) går mot 0 då n blir stort. Exempelvis går a(n)=1/n² mot noll då n går mot oändligheten, dvs att a(n) "krymper" för stora n.

Om en serie har en ändlig summa S så kallas serien konvergent med summan S. En serie som inte är konvergent kallas divergent.

Till exempel är serien

∞
∑ 1/n²= π²/6
n=0

konvergent med summan S=π²/6 (vi ska dock inte visa detta nu, får bli i en tråd om fourierserier).

Serien

∞
∑ 1/n
n=0

- även kallad den harmoniska serien, är divergent (se wiki för bevis).

Den geometriska serien

∞
∑ xⁿ
n=0

är konvergent under vissa förutsättningar vad gäller parametern x i den allmänna termen.

Visa under vilka förutsättningar den geometriska serien är konvergent och beräkna dess summa för sådana x.


Övning 5.

Konvergenta serier (och ändliga summor) kan läggas ihop och multipliceras med en konstant, exempel:

∑ 1/n² + ∑ 1/n³ = ∑ (n+1)/n³

C ∑ 1/n² = ∑ C/n²

Konstruera en geometrisk serie som är konvergent med summan 1. Visa att 0.999999... = 1.

Serien kan skrivas om med hjälp av delsummorna U(n)

M
∑ u(n)v(n) =
n=1

M
∑ (U(n)-U(n-1))v(n) =
n=1

Konvergensen gör att uppdelning är tillåten

M
∑ U(n)v(n) -
n=1

M
∑ U(n-1)v(n) =
n=1

Vi förskjuter index på den sista summan

M
∑ U(n)v(n) -
n=1

M-1
∑ U(n)v(n+1) =
n=0

Och skriver om uttrycket

M-1
∑ [U(n)(v(n)-v(n-1))] + U(M)v(M)
n=1

■

(M (1 + M) (1 + 2 M))/6

(M^2 (1 + M)^2)/4

Indexmängden är alla heltal mellan undre och övre summationsindex.
Svaret är alltså I={-1336 .. 1337}.

1336 element som är mindre än noll
1337 element som är större än noll
1 element som är 0.
= 2674 element

Potensen 3 tar inte bort minustecknet, dvs. (-1336)³ = -(1336)³.
Därför tar alla termer utom den allra sista ut varann.
Summan är alltså 1337³.

Vi använder resultatet för n i förstainlägget och sätter u(n)=n och v(n)=n

M
∑ n² =
n=1

M-1
-½∑ [n²+n] + ½(M³+M²) och härifrån är det bara att lägga ihop
n=1

M
3∑ n² = - ½(M²+M) + M³ + 2M² + M
n=1

M
∑ n² = (2M³ + 3M² + M)/6
n=1

■

T ex är 1+2²+3²+4²+5²= (2∙5³ + 3∙5² + 5)/6 = 55.