sqrt(2) * sqrt(x)

Har funderat på följande ett tag.
Hur kan ett tal som har oändlig med decimaler utan nått mönster, gångas med ett tal som har ändligt med decimaler blir ett tal som inte har några decimaler?
Dåligt förklarat bättre jag visa

sqrt(2)* sqrt(8)= sqrt(16)=4
eller
sqrt(2)* sqrt(32)= sqrt(64)=8

Hur kommer det sig vi inte får ett svar med oändligt med decimaler?
För roten ur 2 har väll det? Och då borde väll svaret också får det eller är jag helt ute och cyklar

I nån bemärkelse får svaret oändligt med decimaler, det är bara att decimalerna alla råkar vara 0. (Eller 9), det vill säga,

sqrt(2) * sqrt(8) = 3.99999999... = 4.00000000...

Om jag inte är helt ute och cyklar så handlar det om representation? Vi kan inte visa alla decimaler/använda alla decimaler eftersom talet är irrationellt? Men om vi kunde så skulle svaret vara 4, respektive 8.

Tal som inte kan skrivas på formen a/b är irrationella och har då en oändlig icke-upprepande decimalutveckling. Ett exempel är √2. Exempel på rationella tal är 2, 10.98 (549/500), 1.11111... (10/9) och 5.78787878... (191/33).

Ett rationellt tal a/b gånger ett irrationellt tal q är alltid irrationellt. Annars, om produkten vore rationell, skulle vi ha

a/b*q = c/d

vilket gör att man kan skriva q = bc/(ad) och således är q rationellt vilket strider mot vårt antagande. Alltså är produkten av dessa tal alltid irrationell, aldrig rationell.

Produkten av två irrationella tal kan vara rationell eller irrationell. Exempelvis är

√2√2 = 2, alltså rationell

men

√2√3 = √6, vilket är irrationellt.

I ditt fall multiplicerar du två irrationella tal √2 och √8 och får ett rationellt tal. Det som du säger, "gångas med ett tal som har ändligt med decimaler", är alltså falskt. Skulle du multiplicera ett irrationellt tal (oändlig icke-upprepande decimalutveckling) med ett rationellt tal (ändlig eller upprepande decimalutveckling) skulle du få ett irrationellt tal precis som du verkar misstänka.

Nu kan man fråga sig hur två produkten av tal med oändligt antal decimaler kan bli ett tal "utan decimaler". Anledningen är förstås att resultatet av multiplikationen är att du får en massa nollor i decimalutvecklingen. Testa själv att multiplicera √2 med sig självt.

Tack så mycket.Tror jag har har fattat detta nu.
Visste inte att √8 och också var irrationellt tal.
Mycket bra skrivit tror jag har koll på det mesta nu

edit. bara en fråga till. Du sa att tal som inte kan skrivas på formen a/b är irrationella . Så tal som kan skrivas på den formen är rationella. Måste "a" och "b" vara heltal eller kan dom vara decimaltal?

Ja, a och b är heltal.

Ett tal är rationellt om det kan skrivas på formen p/q där p och q är heltal och q ≠ 0

Det mest mystiska är väl hur e^πi=-1. Jag vet att det går att härleda ur sinus & cosinus, men hur tusan går det egentligen till när e upphöjt till pi gånger i blir -1!?

Det svårbegripliga är väl egentligen hur e^(ix) = cos(x) + isin(x). Om man väl vet det är ju e^(iπ) = -1 uppenbart.
Enkelt genomfört bevis som egentligen bara kräver att man kan derivera produkten av två funktioner, och insikten att om derivatan för en funktion är 0 för alla x så är funktionen konstant:
f(x) = [def.] = e^(-ix)(cos(x)+ isin(x)) ⇒
[genom enkel derivering med produktreglen] f'(x) = 0 ⇔
f(x) = konstant ⇔
f(x) = f(a) (vilket a som helst) = f(0) ⇒
e^(-ix)(cos(x) + isin(x)) = 1 ⇒
e^(ix) = cos(x) + isin(x) ⇒
e^(iπ) = -1

Hur ser grafen ut för funktionen e^ix? Är den möjlig att rita upp?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^ix

Jag skulle snarare säga att det går precis lika bra med decimaltal som heltal, så länge de har ett ändligt antal decimaler. Ett rationellt decimaltal dividerat med ett annat rationellt tal kan ju enkelt göras om till ett heltal med lite multiplikation med valfri faktor av 10.