Vad menas med ett "Oöverbryggbart tomrum" ?

Vad menas med "Oöverbryggbart tomrum" ? Jag försöker nämligen förstå mig på innebörden av vad författaren försöker säga i den markerade meningen, någon här kanske förstår och kan hjälpa mig att förklara?

Oförståelseklyftan
Många personer avskyr matematik. Några som läser den här boken hör kanske till den gruppen. Ni har kanske en känsla av att tal är mystiska och svåra; de far er kanske att känna er förvirrade och osäkra. Ni vet inte riktigt om ni har utfört en beräkning korrekt. Det är som om det finns ett oöverbryggbart tomrum mellan vad ni tror att ni förstår och vad ni tror att ni borde förstå. Denna "oförståelseklyfta" är ett direkt resultat av utbildningen. Läroplanen är avsedd att från grundläggande begrepp och metoder steg för steg bygga på mer avancerade. Om er förståelse — den ena sidan av klyftan - inte ökar men däremot det ni behöver förstå för att hänga med i läroplanen - den andra sidan - kommer klyftan att bli allt större. Det finns inget alternativ till detta stegvisa angreppssätt med först grundläggande begrepp och sedan utvidgning till mer avancerade begrepp utifrån dessa. Man kan inte lära barn kalkyler förrän de har bemästrat grundläggande aritmetik och geometri, lika litet som man kan lära unga musiker Rachmaninovs tredje pianokonsert innan de kan spela "Blinka lilla stjärna". Det mesta inom matematiken hänger dessutom samman: algebra kan vara till hjälp inom aritmetiken, medan detta att kunna addera, subtrahera och multiplicera är användbart inom trigonometrin. Det innebär att om man inte riktigt förstår ett begrepp eller en metod så får det återverkningar på andra ställen i den matematiska repertoaren.

För att uppnå de mål som skolan sätter upp för eleverna är matematiken mer än något annat ämne avgörande för tidig oförmåga att förstå. Barns förståelse är beroende av hur väl de lär sig nya saker i varje steg, och detta är i sin tur beroende av hur väl läroplanen är utformad och hur undervisningen sker. Både läroplanen och läraren påverkar de båda faktorer som avgör skillnaden mellan att vara bra eller dålig på tal och matematik: Galtons "entusiasm" och "mycket mödosamt arbete". Entusiasmen gör att man vill arbeta; arbetet behövs för att hålla jämna steg med varje nytt begreppsmässigt mål som läroplanen anger. Jag talar inte om långa arbetsdagar, utan att man arbetar eftertänksamt. Man tänker på det man håller på med och ser till att man verkligen förstår det.

I förra kapitlet beskrev jag den goda cirkel som får personer att arbeta hårt med sin matematiska förståelse och dessutom den onda cirkel som vidgar oförståelseklyftan. Att undvika denna klyfta är enligt min mening fundamentalt för effektiv utbildning.

Om jag ger dig en bok pa franska sa kommer du aldrig kunna lasa den forran du lart dig franska. Du maste borja med att lara dig franska for att kunna lasa boken, du kommer inte kunna lasa den oavsett hur lange du sitter med den och tittar pa orden om du inte kan spraket forst. Det ar ett ooverbryggbart tomrum mellan dina sprakkunskaper och att kunna lasa boken.

Termen »oöverbryggbart tomrum« är en överdrift, en hyperbol. Samtidigt mjukas den upp med frasen »Det är som om ...«. De egentliga betydelserna av »oöverbryggbar« och «tomrum« är mycket stränga och knappast realistiska.

1. oöverbryggbar = omöjlig att med någon metod överbrygga, hittills och med någon framtida teknik; omöjlig att överbrygga med varje fysisk transport eller informationsöverföring

2. tomrum = absolut vacuum = ett koncept som trotsas av fysiken

För den som inte kan franska kan vägen till filosofi formulerad på franska vara en bra översättning, eller åratals studier i franska. Det är för övrigt inte ett tomrum mellan svenska och franska, eftersom vi har en begreppsbas gemensam från de klassiska filosoferna.

Hyperboler skall alltså tas med en nypa salt, vilket i sin tur är en litotes = underdrift. En nypa räcker sällan. Slutförvaring av atomsopor är en hyperbol av det grövre slaget. Betonitlera och 80 mm kopparplåt är ingen oöverbryggbar barriär.

Tack för att ni svara i tråden (men jag förstår fortfarande inte vad ett Oöverbryggbart tomrum betyder).

Växla ner »oöverbryggbart tomrum« till »besvärande lucka« så blir det lättare att förstå.

Nu tycker jag att författaren förenklar våldsamt genom att antyda att alla ungdomar har samma förutsättningar att lära sig lösa matematiska problem, bara undervisningen är den rätta. Det är lika naivt som att säga att alla skulle kunna bli medlemmar i Mensa, bara skolpolitiken vore den rätta. Helt normala ungdomar har IQ som varierar från (säg) 80 till 125. Inom den spridningen har några särdeles lätt för språk, medan andra förstår primtal, proportionalitet och grundläggande geometri utan att plugga. Multiplikationstabellen bara sitter där en dag, men stavningen kan vara rätt taskig. Eller tvärtom. Skallen är inte en tom processor ens vid födseln.

Världen är inte rättvis. Första regeln är att välja bra föräldrar och gärna låta sig födas som mittenbarnet bland tre syskon. Var gärna ett vackert barn redan från början, det har du stor nytta av. Var gärna mycket vacker när du skall söka jobb, då har det ingen betydelse om du inte kan formeln för sfärens volym.

Tyvärr verkar skräpkultur och konsumtionstrycket fördummande. Nu finns det dumplattor från 2 tum till 100 tum. Det skapar en ostädbar skräpkammare i skallen på dem som har svagt mentalt immunförsvar. Så det gör ...

oöverbryggbart tomrum = stort avstånd som är omöjligt att hämta in

Svenska barnen luras till att tro att alla kan bli Lucia, och det utan ansträngning

Samtidigt envisas vi med en skola där den internationella utblicken saknas och där barnen luras till att tro att alla kan bli Lucia, och det utan ansträngning


http://www.dn.se/debatt/skolan-struntar-i-hur-barns-hjarnor-fungerar-1.554637

För några år sedan stod det i tidningarna om återupptäckten av Einsteins hjärna. I hans vänstra hjässlob var cellerna tätare packade än normalt. Detta område i hjärnan är avgörande för numeriska processer. Var det att han föddes med dessa extra celler i det viktiga området i hjärnan som gjorde honom till en lysande matematiker? Teorin om den biologiska fallenheten lyder ungefär så här: Våra gener (och möjligen vår tidiga näringstillförsel) bestämmer hur många neuroner i hjässloben vi föds med. De som har fler blir bättre på tal än de som har färre. Detta låter trovärdigt, men det kan inte bevisas enbart genom att korrelera antalet neuroner i hjässloben med den numeriska förmågan. Att vara duktig på att räkna kan vara orsaken till fler neuroner och inte en följd av dem, med andra ord kan hjärnan avdela fler neuroner i hjässloben till numeriska uppgifter, eller behålla fler neuroner i hjässloben (eftersom de börjar dö den dag vi föds), just därför att den delen av hjärnan ständigt "motioneras".

Det viktiga att komma ihåg är att det som för oss bortom enkel numerositet är att vi tillägnar oss vad brukar kallas "kulturella resurser": räkneorden, de beteckningssystem vi använder för att registrera och hantera antal, den uppsjö av metoder och konstruktioner som våra förfäder har lämnat i arv till matematikens fantastiska vetenskap, och så vidare. En av de saker som gör Good Will Hunting (http://www.imdb.com/title/tt0119217/) så föga trovärdig är att Will inte tycks ha ägnat mycket tid åt att tillägna sig dessa resurser. Föreställ er att man ber Arkimedes, antikens störste matematiker, lösa ekvationen

2a^2 + 3ab – 4b^2=0

Han skulle ha mindre möjligheter att klara det än en genomsnittligt utbildad fjortonåring, helt enkelt därför att han inte skulle veta vad de underliga symbolerna 0, 2, 3 och 4 betyder eftersom de inte infördes förrän 700 år efter mordet på honom, inte heller "+" och "-", tyska konstruktioner från 1400-talet, för att inte tala om "="; som infördes av engelsmannen Robert Recorde på 1500-talet. Han skulle dessutom ha fått problem med föreställningen att ekvationer kan innehålla negativa rötter. Arkimedes skulle givetvis ha kunnat lära sig detta ganska lätt, men han skulle ändå ha fått lägga ner tid på att bemästra beteckningarna och ta till sig idéer som inte fanns på hans tid. Hur skulle Will då kunna förstå de problem som MIT-professorn gav sin klass? Hur begåvad han än var skulle han ha fått tillbringa mindre tid på barerna och mer med böckerna.


Här följer en historia som matematiker brukar berätta för varandra: En advokat, en konstnär och en matematiker diskuterar huruvida det är bättre att ha en hustru än en älskarinna. Advokaten förespråkar en hustru och betonar fördelarna med lagenligheten och tryggheten. Konstnären förespråkar en älskarinna och framhåller fördelarna med frihet. Matematikern säger: "Man borde ha en av varje, så att man när de båda två tror att man är hos den andra kan ta itu med litet matematik."

Matematiker gör inget hellre än ägnar sig åt matematik, och de tillbringar så mycket tid som möjligt med det. Även personer med savantsyndrom, som är "räknare" snarare än riktiga matematiker, tillbringar anmärkningsvärt mycket tid med att leka med tal och lösa problem. Det måste de göra därför att det finns så mycket att lära sig. Mozart var tvungen att lära sig spela piano och läsa noter. Will Hunting tycks inte göra något av detta och har ingenting av den typiska entusiasmen.


Jag tänker hävda att skillnader i matematisk förmåga, förutsatt att den grundläggande talmodulen har utvecklats normalt i vår matematiska hjärna, uteslutande är beroende av att vi tillägnar oss de begreppsmässiga redskap som tillhandahålls av kulturen. Naturen förser oss tack vare våra gener med specialutrustningen, talmodulen. Allt annat är inlärning. För att bli duktig på tal och siffror måste man vara genomsyrad av dem. Detta är "teorin om färgarens hand".

Du är säkert av den uppfattningen att det fanns någon grundläggande och medfödd skillnad mellan eleverna i din gamla skolklass, mellan dem som tyckte att matte var mycket enkelt och dem som alltid tyckte att det var jobbigt. Jag förnekar inte att det kan vara så. Framför allt vill jag inte förneka att det kan ha funnits skillnader i förmågan till koncentrerat arbete eller i sådant som man tyckte var intressant. Det fanns inte någon skillnad i deras medfödda förmåga just för matematik.

Repliker:

(1) Lösningen av den »ekvationen« är om jag minns rätt två hyperbelgrenar i planet a/b. (För andra koefficienter kan det vara en eller ingen lösningskurva.) Det är nog få 14-åringar som löser en andragradsekvation med én (1) obekant (x). Rötterna kan vara, inte bara negativa, utan även komplexa med imaginärdel. Ännu färre 14-åringar anger en analytisk beskrivning för orten av lösningar i planet f(a,b) = 0. Google ger nill och nada.

Den typiska andragradsekvationen är: 2x^2 + 3x – 16 = 0 (med två lösningar x1 och x2)

(2) Matematiskt sinne är mycket mer än »talmodulen«. Den där funktionsytan

f(a,b) = 2a^2 + 3ab – 4b^2

liknar en sadel, som kräver geometrisk föreställningsförmåga. Matematisk analys kräver abstraktionsförmåga utöver den som aritmetiken kräver.

(3) Vårt tillkortakommande när det gäller att förstå världar i fem till elva dimensioner är kanske ett exempel på ett oöverbryggbart tomrum. De som diskuterar strängteori har säkert en medfödd abstraktionsförmåga utöver det vanliga. Nyskapare som Stephen Hawking kan definitionsmässigt inte ha fått all sin förståelse genom inlärning. Förresten, vi vanliga dödliga kan ju inte avgöra om de som förstår fem dimensioner verkligen gör det, eller bara låtsas göra det. Där har vi en besvärande klyfta igen. Själv har jag problem att förstå vad de svarta hålen är hål i, om inte en femdimensionell rymd som jag inte förstår. Ett moment 55 om man så vill.

På vilket sätt är en skräpkultur och konsumtionstryck fördummande? (Är inte det en floskel)? Är det för att den sker på bekostnad av mer intellektuellt stimulerande sysselsättningar? Har du några andra förslag på ett spännade, roligt, stimulerande och meningsfullt liv? Hur bör man handla för att leva ett fullödigt liv (bortse från biologisk överlevnad), där man inte slösar med tid och talang, samtidigt som man uttrycker sin särart? Vad är ett gott liv?

Strängteoretikerna själva säger, att de inte förstår vad de extra dimensioner, som strängteorien förutsätter, skulle innebära. Kanske är de så hopvecklade att vi inte kan uppfatta dem.
Om det fanns varelser, som levde i en tvådimensionell värld, skulle de inte förstå vad ord som "upp" eller "ned" betyder. Detta finns beskrivet i en bok från 1800-talet, Edwin Abbot: Flatland. Jag har hämtat uppgiften från Janna Levin: Hur universum fick sina fläckar, Stockholm 2003, s.156-160.
M V H
Petter Eremiten

För att uttrycka det kort använder jag två ord från två språk: sustainable trivsel.