gyllene snittet och fibonacci

Finns det någon som kan förklara sambandet mellan fibonaccis talserie och gyllene snittet?

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Relation_to_the_golden_ratio

Fibonaccis talserie är en talserie som kan beskrivas rekursivt med en differensekvation. Det innebär att talet två steg bakåt och talet ett steg bakåt adderas och bildar det nya talet.

Enligt differensekvationen:

x_n+2 = (x_(n+1))+(x_(n))

eller

x_n = (x_(n-1))+(x_(n-2))

Om det första talet är noll, och det andra talet är 1, så blir det tredje talet också 1, då 0+1 = 1. Det fjärde talet i talserien blir då andra talet i talserien blir tredje talet i talserien. Dvs 1+1=2, fjärde talet blir alltså 2. Med hjälp av differensekvationen kan man då beräkna vad det n:te talet i talserien är, eftersom man alltid vet de två talen innan.

Med hjälp av nu denna differensekvation kan man skapa en karaktäristisk lösning. Enligt följande:

Karaktäristisk lösning ges av:

x² = x^(2-1)+x^(2-2)
⇔
x² = x¹+1

x = 1/2±√((1/2)²+1)
x = 1/2±√((1/4)+4/4)
x = 1/2±√(5/4)
x = 1/2±√(5)/2
x = (1±√(5))/2

Det gyllenne snittet:
(1+√(5))/2

Edit: Fel med parenteser

Tack, det här var mycket hjälpsamt!

Om jag hakar på BengtzZ och låter Gyllene snittet G=(1+√(5))/2 så är alltså den allmänna
lösningen:
x_n=AG^n+B*(1-G)^n
genom att man vet att x_0=0, x_1=1 räknar man ut A och B

A=-B=1/√(5)


Man får
x_{n}->G^n/√(5)
x_{n+1}/x_{n}->G


Exempel G^8/√(5)=21,00951949

Du kan inte välja x_0 och x_1 när du skall bestämma den allmänna lösningen. Välj begynnelsevärdena x_1 och x_2 istället. Det kan hända att det blir samma allmänna lösning i vilket fall, ville bara påpeka att så är fallet med valet av begynnelsevärdena ifrån differensekvationen.

Nja jag gjorde en tillägsdefinition x_0=0
pss får jag enklare ekvation att lösa ut.

A+B=0
AG+B(1-G)=1

istället för
AG+B(1-G)=1
AG^2+B(1-G)^2=1

Svaret blir iaf A=1/sqrt(5), B=-1/sqrt(5)