Hur kan man bevisa formeln för rörelseenergi?

Om vi använder Einsteins eget argument som han presenterade 1905 i artikeln "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?" (Beror kroppars tröghet på deras energiinnehåll?) i tidskriften Annalen der Physik så har vi nedanstående.

Antag att vi har ett koordinatsystem (x,y,z) där en ljusstråle med energi E färdas med vinkel φ mot x-axeln. Inför nu ett nytt koordinatsystem (x',y',z') som färdas med hastigheten v längs x-axeln. Energin E' som mäts i detta system förhåller sig till energin som mäts i det andra systemet som

E' = E*(1-cos(φ)*v/c)/√(1-v²/c²).

Detta resultat visade Einstein i sin tidigare artikel 'Zur Elektrodynamik bewegter Körper' (Angående elektrodynamiken hos kroppar i rörelse) som lade grunden till speciella relativitetsteorin m h a Lorentztransformationen.

Tänk dig nu en kropp i vila med energin E0 i systemet (x,y,z) som sänder ut en stråle med riktning φ mot x-axeln med energi L / 2 och en stråle i motsatt riktning. Energin hos kroppen efter den sänt ut strålarna betecknas E1. Eftersom energin måste bevaras har vi

E0 = E1 + L/2 +L/2 = E1 + L.

Eftersom alla icke-accelererande referensystem är lika giltiga måste även energin bevaras i (x',y',z'):

E0' = E1' + (L/2)*(1-cos(φ)*v/c)/√(1-v²/c²) + (L/2)*(1+cos(φ)*v/c)/√(1-v²/c²) = E1' + L/√(1-v²/c²).

där vi använt att den andra strålningen färdas i riktning (φ+π) och cos(φ+π) = -cos(φ).

Genom att subtrahera dessa ekvationer fås

(E0'-E0) - (E1' - E1) = L(1/√(1-v²/c²)-1).

Eftersom E och E' är energin hos en kropp i två referenssystem som rör sig relativt med varandra och kroppen är i vila i det ena systemet, så måste skillnaden i energi helt enkelt vara skillnaden i kinetiska energi hos kroppen. Egentligen ska vi också lägga till en konstant C eftersom nollnivåerna för energierna kan välja godtyckligt, men den tas ut i subtraktionen. Ekvationen ovan kan alltså skrivas

K0 - K1 = L(1/√(1-v²/c²)-1).

Om man nu antar att v är liten i förhållande till c så har vi

K0 - K1 = ½(L/c²)v² [jmfr med ½mv²]

Eftersom speciell relativitetsteori måste vara lika med Newtons mekanik i gränsen för små hastigheter ser man att då man skickar ut energin L från en kropp så minskar massan med L/c². Detta är sant för godtyckligt små v, så vi kan se referenssystemen som identiska och helt enkelt fastslå att det gäller för en kropp i vila. Sen spelar det ju ingen roll att energin L vi tar bort från kroppen är strålning eftersom relationen ovan visar att en massa m motsvaras av L/c² och alltså

L = mc^2 eller E = mc² som vi brukar se den.

Jag baserade min framställning på de engelska översättningarna av hans originalartiklar.

Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?
Zur Elektrodynamik bewegter Körper

Om man bara ser formeln så är det helt klart mycket svårt att förstå varifrån den kommer och frågor som dem du ställer dyker upp.

Men formeln är härledd utifrån axiomen för speciella relativitetsteorin och mekanikens lagar.

Hittar ingen riktigt bra härledning på webben, men här är Einsteins egen:
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/e_mc2.pdf

Jag gör ett försök. Vi utgår från formeln för rörelsemängd, p = Mv, där M är "relativistiska massan", M = m/√(1-v²/c²), som måste användas i speciell relativitetsteori för att totala rörelsemängden skall bevaras. Sedan har vi kraftekvationen, F = dp/dt. Slutligen definitionen av rörelseenergi; rörelseenergin är det arbete som krävs för att accelerera upp ett föremål till en given hastighet. Just ja, arbete definieras genom W = ∫ F ds.

Rörelseenergin blir därför
W = ∫ F ds = ∫ dp/dt ds = ∫ ds/dt dp = ∫ v dp = pv - ∫ p dv
= mv²/√(1-v²/c²) - ∫ mv/√(1-v²/c²) dv
= mv²/√(1-v²/c²) - (-mc²√(1-v²/c²) + mc²)
= m(v²+c²(1-v²/c²))/√(1-v²/c²) - mc²
= mc²/√(1-v²/c²) - mc²
= Mc² - mc².

Härifrån kommer E = mc².

Rörelseenergin blir skillnaden i energi mellan när kroppen är i rörelse och när den står still.

Okej! Tack. Men hur få man ut att ∫ v dp = pv - ∫ p dv?

Partialintegration. Jämför med ∫ u v' dx = uv - ∫ v u' dx.

Alternativt (dock ekvivalent):
pv = ∫ d(pv) = ∫ (dp v + p dv) = ∫ (dp v) + ∫ (p dv) = ∫ v dp + ∫ p dv
⇒ ∫ v dp = pv - ∫ p dv

(Beror kroppars tröghet på deras energiinnehåll?) i tidskriften Annalen der Physik så har vi nedanstående.

Fnissigt namn på tidskriften, "Fysikens rövhål".

Det finns väldigt mycket spännande saker i fysikens annaler faktiskt Fysik är roligare än vad man tror på mer än bara det matematiska sättet.

Joråminsann, det pirrar till både lite här och där hos ett antal kjoltyg när man förkunnar att man är lite av en expert i teknisk balkteori.