Ändliga Kroppar och Irreducibla Polynom

Sitter fast med en uppgift och hoppas på er hjälp med den. Här är den:

Visa att polynomet x^2+x+2 är irreducibelt över Z3[x] och använd polynomet
för att konstruera en ändlig kropp. Vilka element har kroppen och hur många är de?
Ange inverser till alla element utom 0-elementet och bestäm en generator för den multiplikativa gruppen.

Tack i förhand!

Hur långt har du kommit?

Antag att vi kan faktorisera polynomet över Z3[x], dvs att vi kan skriva
x² + x + 2 = (ax+b)(cx+d) = (ac)x² + (ad+bc)x + (bd),
där a, b, c, d ∈ Z3.

Vi skall då ha 1 = ac, 1 = ad + bc samt 2 = bd, där likheterna förstås tas i Z3.

Eftersom Z3 är en kropp, har alla element (utom 0) en multiplikativ invers. Vi kan därför dra slutsatserna c = 1/a och d = 2/b.

I just Z3 gäller nu att 1/x = x (eftersom 1*1 = 1 och 2*2 = 1), så vi har c = a och d = 2b. Detta ger ad + bc = a*2b + b*a = 3ab = 0, så det är omöjligt att få ad + bc = 1 som krävs för faktorisering.

Alltså är x² + x + 2 irreducibelt över Z3[x].

Vi bildar kroppen Z3[x]/(x² + x + 2) bestående av ekvivalensklasser av Z3[x] modulo x² + x + 2. I kroppen gäller x² + x + 2 = 0.


Eftersom x² + x + 2 har grad 2, måste alla element ha grad högst 1. Element av grad 2 eller högre reduceras nämligen till lägre grad genom x² = -(x + 2) = 2x + 1. Element av grad 1 eller 0 kan däremot inte reduceras på något sätt. Elementen blir därför 9 st: 0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2.


För varje polynom p(x) ∈ Z3[x] löser bestämmer vi a, b ∈ Z3 så att (ax+b)p(x) = 1.

Exempel:
(ax+b)(x+2) = ax² + (2a+b)x + 2b = a(2x+1) + (2a+b)x + 2b
= (a+b)x + (a+2b) = 1 omm a+b = 0 och a+2b = 1, dvs a = 2, b = 1.
Alltså, 1/(x+2) = 2x+1.

Vi får:
1/1 = 1
1/2 = 2
1/x = x+1
1/(x+1) = x
1/(x+2) = 2x+1
1/(2x) = 2x+2
1/(2x+1) = x+2
1/(2x+2) = 2x


Vi undersöker vad x genererar:
x^0 = 1
x^1 = x
x^2 = 2x+1
x^3 = 2x+2
x^4 = 2
x^5 = 2x
x^6 = x+2
x^7 = x+1
(x^8 = 1)

Alltså genererar x hela multiplikativa gruppen, dvs x är en generator för multiplikativa gruppen.

Förstod du mina svar?

Absolut, tack så mycket för hjälpen Hade glömt bort att kolla om jag fått något svar bara.