Perturbation theory.

Det börjar dra ihop sig nu så här följer min sista uppgift för terminen.
Denna uppgift handlar om en aproximations metod för Hamiltonianens egenvärdesproblem genom Perturbations teori.

Uppgiften lyder:

Use second order perturbation theory to calculate the change of the energy levels of a linear harmonic oscillator when a constant force is added, H(p) = -Fx.
Calculate also the change in energy exactly and compare.


Mina beräkningar:

a)

H = H(0) + H(p) där H(0) är den operturberade Hamiltonianen och H(p) är perturbationen.

H=-hbar²/(2m)d²/(dx²) + ½mω²X² - Fx

Variabel substitution:
y = X - F/(mω²) (är inte säker på detta)

leder till:
H = -hbar²/(2m)d²/(dx²) + ½mω²X² + 3F²/(2mω²)

Den exakta energin,
E(n) = hω(n + ½) + 3F²/(2mω²).


b) Aproximativa egenvärden mha perturbations teori:

förstagrads korrektion till energin, E(n)¹ = <n|H(p)|n> = -F<n|X|n> = 0
för att en "Harmonic oscillator" X har inga diagonala matris element.

andra-grads korrektionen E(n)² = ∑{|<m|H(p)|n>|² / [E(n)^(0) - E(m)^(0)]}.

Eftersom,
<n+1|X|n> = √(n + 1)√[hbar/(2mω)]
och,
<n-1|X|n> = √(n)√[hbar/(2mω)]

blir,
E(n)^(0) - E(n+1)^(0) = hbarω
och,
E(n)^(0) - E(n-1)^(0) = -hbarω

Vi kan nu skriva om utrycket, E(n)² = F²[ |<n+1|X|n>|²/(-hbarω) + |<n-1|X|n>|²/(hbarω) ] = F²[ (n + 1)[hbar/(2mω)]/(-hbarω) + n[hbar/(2mω)]/(hbarω) ] = F²[ -(n + 1)/(2mω²) + n/(2mω²) ] =

-F²/(2mω²).

Alltså,
change in energy = -F²/(2mω²)
exact change in energy (från a) ) = +3F²/(2mω²)

Något känns fel med dessa två svar speciellt +,- tecken avvikelsen. Har jag kankse räknat fel på variabel substitution i a). Finns det andra vägar att räkna ut den exakta energin utan att använda variabel sub.?

Är resten av uppgiften korrekt för den delen?

I a) ser din variabelsubstitution konstig ut. Du sätter

y = x - F/(mω²) eller x = y + F/(mω²).

Den kinetiska delen blir densamma (med x ersatt av y) men resten av Hamiltonianen blir

½mω²x² - Fx = ½mω²(y + F/(mω²))² - F(y + F/(mω²)) = ½mω²(y² + 2yF/(mω²) + F²/(mω²)² - Fy - F²/(mω²)
= ½mω²y² + Fy + ½F²/(mω²) - Fy - F²/(mω²) = ½mω²y² - ½F²/(mω²).

Skiftet av nollnivån blir alltså - ½F²/(mω²) vilket är exakt samma som i andra ordningens perturbationsteori.

Ja! Tog fel tecken i variabel sub. =).
Kan du kanske klargöra en sak för mig angående en annan uppgift?
Det handlar om 3 icke-interagerande identiska spin-½ fermioner i en harmonisk potential.
Frågan är angående groundstate degeneracy. Som jag förstår det hamnar 2 av de 3 partiklarna i den lägsta energi skal 1S (ena med spin-up och den andra med spin-down) och den tredje hamnar i nästa skal 2S med antingen spin-up eller spin-down. Det finns 4 olika konfigurationer för spinnen och degeneracyn borde alltså vara 4-faldig. Jag undrar helt enkelt om det stämmer?

Det är den endimensionella oscillatorn du talar om va? Hur får du det till fyrfaldig degeneration? Som jag ser det är degenerationen tvåfaldig. Elektroner är identiska partiklar och vi kan inte säga vilken partikel som har vilket spinn. Således har två bara två möjligheter:

Första energinivån: en spinn upp och en spinn ned
Andra energinivån: en spinn upp

respektive

Första energinivån: en spinn upp och en spinn ned
Andra energinivån: en spinn ned.

Det står faktiskt inget i uppgiften om dimensinaliteten av den harmoniska oscillatorn.
Ja, jag fick degenerationen till 4 med tanke på att de två elektronerna i första nivån kan vara antingen spin upp och ned eller ned och upp. Med den tredje partikelns deg. blir det 4 totalt. Men eftersom de är identiska och vi inte kan skilja åt de så har du en poäng.
Jag förstår iof inte varför vi inte kan kalla det för 4 faldig deg. även om vi inte kan säga vilken partikel som har vilken spinn. Naturen kan ha vissa egenskaper oavsätt om vi kommer åt kunskapen om de eller ej?

Nej hela poängen med att kvantpartiklar är icke-särskiljbara är att det inte är någon skillnad på dem. Således kan du inte säga vilken partikel som har spinn upp. De befinner sig i ett tillstånd där en av elektronerna i första energinivån har spinn upp, mer än så kan man inte säga.

Ok, då är det klart för mig. Det kan bara vara tvåfaldig deg.