Dubbelsumma

Svårt med notationen här utan LaTeX men skall ge det ett försök.

antag att:

s_k = ∑(c_m), m=1,—> k
Alltså s_k är summa över c_m där m räknas upp från 1 till k.

så

s_1 = c_1
s_2 = c_1 + c_2
·
·
·
s_k = c_1+c_2+···+c_k

nu kommer detta:

∆: (1/n)∑(s_k), k=1,—> n

så det blir en dubbelsumma där jag inte är riktigt med på de blinda variablerna.

frågan är hur ∆ skall se ut.

Jag vet att ∆ blir ∑(1-(k-1)/n)c_k, där k går från 1 till n

(OBS! blinda variabler)

Men frågan är hur man kommer dit?

Notera först att ∑(1 - (k - 1)/n) c_k = 1/n ∑(n - k + 1) c_k. Om du expanderar
summationen så ser du att c_1 summeras n gånger, c_2 n - 1 gånger, ..., c_n 1 gång.

Hur du kommer dit är enklast att tänka baklänges i mitt resonemang.

Jo tänka baklänges är nästan alltid enklare dock inte så nyttigt.

Det jag har problem med (och jag har sökt nätet länge men hittar inte) är en typ av dubbelsummation.

typen ∑k=a—>b∑n=c—>d är enkel eller typen ∑a_ij som t.ex. matriser.

Men mitt exempel är en typ där den inre summans övre gränst är den yttre summans nedre ??? huh??

Och då undrar jag om vilka variabelbyten som vore av intresse så att man kan förkorta som i mitt exempel där professorn hade förkortat.

Jag vet inte hur rigoröst du vill visa detta, men det jag menade i mitt förra inlägg är att det om du summerar
kolumnerna i triangeln som s_i bildar så blir summationen endast över ett index. D.v.s. du utgick från att summera
radvis där varje element blir s_k, till att summera över kolumnerna där varje element blir (n - k + 1) c_k.

Här "vänder" jag på summationen över triangeln s_k bildar
∑[k=1→n]∑[j=1→k] c_j = ∑[j=1→n]∑[k=j→n] c_j
= ∑[j=1→n] c_j ∑[k=j→n] 1 = ∑[j=1→n] (n - j + 1) c_j,
där k summerar över rader och j över kolumner.

∆: (1/n)∑(s_k), k=1,—> n

∆ blir alltså


(1÷n)·(c_1+(c_1+c_2)+(c_1+c_2+c_3)+···+(c_1+c_2+·· ·+c_n))


EDIT:

Skrev detta precis innan inlägget ovan, så jag såg inte ovan nämnda inlägg

Ja, eller förenklat:
(1/n) (n c_1 + (n-1) c_2 +...+ 2 c_{n-1} + c_n)

vilket variabelbyte gör du där?

Vet inte riktigt hur det visas med variabelbyte, men det är
denna identitet jag använt mig utav, vilket ändrar
summationsordningen över triangeln 0 <= k <= j <= m.

För mig är den självklar eftersom den bara säger att det blir
lika om du tar summan kolumnvis eller radvis.

Oj vad missförstånd kan ställa till med.

Jag bara råkade rita en triangel (∆) som jag kunde referera till, och du verkar tala om en annan triangel (indirekt om min ∆ också då) jag visste inte riktigt vad du menade med triangel.

trött.

Jasså, ja jag kanske var lite otydlig.
Det jag menade var triangeln
c_1
c_1 c_2
c_1 c_2 c_3
:
c_1 c_2 c_3 ... c_n
där s_k summerar rad k.

Jo kom på det senare och ja, som du sa så ser det ju självklart ut att summan över raderna = summan över kolonnerna.

Jag borde aldrig ritat triangeln