Ett stort matematikproblem

En viss fakultet har tre sorters studenter; matematikstuderande, fysiker samt de som inte studerar något alls. Antalet studenter i respektive grupp kallar vi S1, S2 och S3.


Varje år så tar 10% av matematikerna och 20% av fysikerna paus och slutar studera (men är kvar på fakulteten), och det tillkommer 20% till matematikerna och 40% till fysikerna från de som inte studerar. Dessutom så inser vissa fysiker att matematik är jätteviktigt, så 20% av fysikerna flyttar över till matematiklinjen.

Vi kan beskriva detta med hjälp av en övergångsmatris A så att Xt+1=AXt där X0= (S1 S2 S3 ) .

a)

Bestäm A


Antag att vi har S1=100 matematikstudenter, S2=200 fysikstudenter samt S3=50 studenter som inte studerar.


b)

Hur är fördelningen efter ett år?


c)

Hur är fördelningen efter 10 år? (Avrunda till närmaste heltal.)


d)

Undersök om det finns någon stabil fördelning och bestäm denna i så fall.


Så här löste jag den, men vet fortfarande inte hur man löser den stabila fördelningen?


A)

X1 = X0 * A

(100 (100 (A1
180 = 200 * A2
70) 50) A3)


Då delar vi det så att vi får fram A

A = ( 0,5 0,9 0,35)



B)

Matte, 100 går mot 90 + 10 = 100
Fysik, 200 går mot 160 + 20 = 180
annat, 50 går mot 50 + 10 + 40, går mot 100-10-20 = 70

Efter ett år är matrissen (100
180
70)

C)

X2 = X1* A
X2 ( 90 162 63)

X3=( 81 145,8 56, 7)
x4= ( 78, 9 131,22 51,03)
X5= (65,61 118,098 46)
x6= ( 59 106 41)
x7= ( 53 96 37)
x8= ( 48 86 33)
x9= (43 77 30)
x10=( 38 69 27)



Svar X10 = (38 69 27)

D) Hur löser man denna?

Det enda jag behöver hjälp med är hur fråga ser ut

d)

Undersök om det finns någon stabil fördelning och bestäm denna i så fal

Behöver verkligen hjälp med den här, Hur löser man C och D?